Ричард Фейнман - Том 1. Механика, излучение и теплота

Чтобы упростить понимание этой главы, договоримся с самого начала выбрать в качестве независимых переменных температуру и объем . Химики используют для этого температуру и давление, потому что их легче измерять и контролировать в химических реакциях. Но мы используем повсюду в этой главе температуру и объем и изменим этому только в одном месте, чтобы посмотреть, как совершается переход к химическим переменным.

Итак, сначала рассмотрим только одну систему независимых переменных — температуру и объем. Затем нас будут интересовать только две функции этих переменных: внутренняя энергия и давление. Все другие термодинамические функции можно получить с помощью этих двух, но не обязательно это делать именно сейчас. Даже после таких ограничений термодинамика останется еще трудным предметом, но все же уже не столь невозможным для понимания!

Сначала немного займемся математикой. Если величина есть функция от двух переменных, то дифференцировать ее придется осторожнее, чем мы это делали раньше, имея дело с одной переменной. Что мы понимаем под производной давления по температуре? Изменение давления, сопровождающее изменение температуры, разумеется, зависит от того, что случилось с объемом , пока менялась температура. Прежде чем понятие производной по температуре обретет ясный смысл, надо сказать что-то определенное об изменении объема. Например, можно спросить, какова скорость изменения Р относительно Т при постоянном объеме. Тогда отношение изменений обеих этих величин, по существу, обычная производная, которой привыкли присваивать символ dP / dT . Мы обычно используем особый символ ∂ P /∂ T , он напоминает нам, что Р зависит, кроме Т , еще и от переменной V, и эта переменная не изменяется. Чтобы подчеркнуть тот факт, что V не изменяется, мы не только используем символ ∂, но еще пометим индексом остающуюся постоянной переменную (∂ P /∂ T ) у . Конечно, поскольку имеются только две независимые переменные, то это обозначение излишне, но оно, быть может, поможет нам легче пройти сквозь термодинамические дебри частных производных.

Предположим, что функция f ( x, у ) зависит от двух независимых переменных х и у . Под символом (∂ f /∂ x ) у мы понимаем самую обычную производную, получаемую общепринятым способом, если у постоянна:

Аналогично определяется и

Например, если f ( x, у )= х 2+ ух , то (∂ f /∂ x ) y =2 x + y , а (∂ f ∂ y ) x = х . Мы можем распространить это на старшие производные: ∂ 2 f /∂ y 2или ∂ 2 f /∂ y ∂ x . Последний случай означает, что сначала f продифференцировано по х , считая у постоянным, а затем результат продифференцирован по у , но теперь постоянным стало х . Порядок дифференцирования не имеет значения: ∂ 2 f /∂ x ∂ y =∂ 2 f /∂ y ∂ x .

Нам придется подсчитывать изменение Δ f , происходящее с f ( x, у ), если х переходит в х +Δ х , а у переходит в y+Δy. Будем предполагать, что Δx и Δy бесконечно малы:

(45.1)

Последнее уравнение и есть основное соотношение, связывающее приращение Δf с Δx и Δy.

Посмотрим, как используется это соотношение; для этого вычислим изменение внутренней энергии U ( Т,V ), если температура Т переходит в Т +Δ T , а объем V переходит в V+ΔV. Используем формулу (45.1) и запишем

(45.2)

В предыдущей главе мы нашли другое выражение для изменения внутренней энергии ΔU; тогда к подводимому газу прибавлялось тепло ΔQ:

(45.3)

Сравнив (45.2) и (45.3), можно было бы подумать, что P =(∂ U /∂ V ) T , но это не так. Чтобы получить верный результат, сначала предположим, что газ получает тепло Δ Q , причем объем его не изменяется, так что ΔV=0. Если ΔV=0, то уравнение (45.3) говорит нам, что ΔU=Δ Q, а уравнение (45.2) утверждает, что Δ U =(∂ U /∂ T ) V Δ T , поэтому (∂ U /∂ T ) V =Δ Q /Δ T . Отношение ΔQ/ΔT—количество тепла, которое нужно подвести к телу, чтобы изменить его температуру на один градус, удерживая объем постоянным,— называется удельной теплоемкостью при постоянном объеме и обозначается символом C V . Таким образом, мы показали, что