Александр Львовский - Отличная квантовая механика

В этом разделе мы будем использовать для обозначения частоты Лармора символ Ω 0, а не Ω L.

Это магнитное поле обычно называют радиочастотным (rf, radio-frequency), потому что ω, как правило, лежит в диапазоне, где осуществляются радио- и телетрансляции. Поле B 0называют постоянным (dc, direct current) полем.

Блоховский вектор в новом базисе получается подстановкой в (4.62) вместо

В действительности уравнение (4.85) корректно представляет гамильтониан системы в так называемом представлении взаимодействий , которое мы здесь не изучаем.

Населенность квантового состояния есть полное число частиц в этом состоянии. В нашем случае населенности состояний со спинами, ориентированными вверх и вниз, равны, соответственно, n pr ↑и n pr ↓, где n — полное число электронов в образце.

Обсуждение близкой темы см. в подразд. 3.8.2.

Отсылка к тому, что интеграл представляет собой «площадь под кривой».

Импульс площадью π соответствует логической операции НЕ над спиновым кубитом: он преобразует |0⟩ = |↑⟩ в |1⟩ = |↓⟩, и наоборот.

Математическое представление, связанное с оператором плотности, предложили независимо друг от друга Джон фон Нейман и Лев Ландау в 1927 г. Термины «матрица плотности» и «оператор плотности» традиционно взаимозаменяемы.

Обратите внимание, что существование спектрального разложения (5.4) не следует тривиальным образом из определения матрицы плотности (5.1). Два данных выражения очень похожи, но элементы суммы в (5.4) составляют ортонормальный базис, тогда как в (5.1) это просто произвольные состояния.

Это верно в случае и стационарного, и вращающегося базиса, поскольку оба они состоят из собственных состояний

Как говорилось в разд. 3.8, квантовое описание моды электромагнитного поля эквивалентно описанию гармонического осциллятора.

К примеру, см.: Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. — М.: Наука, 1980.

См. описание эксперимента в: A. G. White, D. F. V. James, W. J. Munro, and P. G. Kwiat, Exploring Hilbert space: Accurate characterization of quantum information, Physical Review A 65, 012301 (2001).

Конечно, если квантовый процесс описывается оператором, тот должен быть не просто линейным, но также унитарным (см. разд. 1.10). Однако для данного упражнения этот факт не существенен.

На самом деле достаточно, чтобы набор был остовным; ему не обязательно быть линейно независимым.

При n ≠ m это всего лишь формальные математические объекты, которые не соответствуют никаким физическим состояниям. Однако они удобны для тренировки интуиции.

Поле — это понятие из алгебры, обозначающее полное множество некоторых чисел. Примерами полей могут служить множества рациональных (ℚ), действительных (ℝ) и комплексных (ℂ) чисел. Квантовая механика обычно имеет дело с векторными пространствами над полем комплексных чисел.

Обратите внимание: в качестве альтернативной нотации для |zero⟩ мы иногда используем просто 0, но никогда не |0⟩.

То есть такая, в которой по крайней мере один из коэффициентов не равен нулю.

Мы используем символ ≃ вместо =, когда выражаем векторы и операторы в матричной форме, как в (A.2). Делается это для того, чтобы подчеркнуть разницу: левая часть (вектор) представляет собой абстрактный объект и не зависит от базиса, тогда как правая часть — это набор чисел, зависящий от выбора базиса {|𝑣i⟩}. Однако в литературе, как правило, для простоты используется знак равенства.

Отображение — это функция, которая устанавливает для каждого элемента | a ⟩ в 𝕍 уникальный «образ» Â | a ⟩.

ℂ 2есть линейное пространство столбцов содержащих по два комплексных числа.

Это упрощенный вид формулы Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла. Полный вид этой формулы более сложен и выполняется в том числе для случая, когда не коммутирует с