Александр Львовский - Отличная квантовая механика

согласно формуле Ньютона — Лейбница. Подставив оба члена в (РГ.1), получаем 𝑓(0).

Решение для упражнения Г.2

a) Уравнение (Г.4) получаем, подставив 𝑓( x ) = 1 в уравнение (Г.3).

b) Произведем замену переменной интегрирования x — a = t . Тогда d t = d x и

c) Рассмотрим гладкую функцию 𝑓( x ) и интеграл:

Чтобы вычислить этот интеграл, заменим переменную интегрирования ax = t , так что d x = d t / a . Тогда для положительного a :

Если a отрицательно, x = ±∞ соответствует t = ∓∞, так что нам придется изменить пределы интегрирования:

Два приведенных выше уравнения можно объединить, написав

Сравнив уравнения (Г.3) и (РГ.2), получаем:

Решение для упражнения Г.3.Пусть dθ( x )/d x = α( x ). Рассмотрим интеграл

гладкой ограниченной функции 𝑓( x ). Интегрируя по частям, находим:

Первый член в этом выражении равен 𝑓(+∞). Второй член, согласно определению функции Хевисайда, равен

так что I = 𝑓(0). Таким образом, обобщенная функция α( x ) ведет себя в соответствии с определением (Г.3) дельта-функции; следовательно, она является дельта-функцией.

Решение для упражнения Г.4

где θ( x ) есть функция Хевисайда, и мы воспользовались формулой Ньютона — Лейбница.

Решение для упражнения Г.5

a) Это следует из определения (Г.10) преобразования Фурье при k = 0.

с) Вводим новую переменную интегрирования t = ax и действуем по аналогии с упр. Г.2, c).

d) Заменим переменную интегрирования на t = x — a . Получаем:

f) Воспользуемся интегрированием по частям и учтем, что 𝑓( x ) обнуляется на ±∞:

Решение для упражнения Г.6.Чтобы вычислить интеграл

выразим экспоненту в уравнении (РГ.3) как квадратичную функцию от x , а затем применим (Б.17):

Решение для упражнения Г.7

b) Приравняв d к 2/ b , мы можем переписать (Г.1) в виде:

Заметим также, что в пределе при d → ∞ функция Гаусса становится постоянной и равной единице. Отсюда следует, что

Решение для упражнения Г.8.Для начала установим a = 1. Заметим, что требуемый интеграл представляет собой, с точностью до множителя преобразование Фурье от функции 𝑓( x ) = 1 в точке — k . Применив (Г.18), находим: