Александр Львовский - Отличная квантовая механика

Для среднего квадрата, действуя аналогичным образом, находим

Отсюда следует, что

⟨Δ k 2⟩ = ⟨ k 2⟩ — ⟨ k ⟩ 2= np — np 2.

Решение для упражнения Б.11

a) Вероятность рождения ребенка на единицу населения в день ( p ) равна 10/100 000 = 10 –4. Используя биномиальное распределение с n = 100 000, находим:

b) Аналогичным образом находим pr 12= 0,0947807.

Решение для упражнения Б.12

Решение для упражнения Б.13

Решение для упражнения Б.15.В пределе при p → 0, n → ∞, λ = pn = const уравнение (Б.8) принимает вид

⟨ k ⟩ = np = λ; ⟨Δ k 2⟩ = np — np 2→ λ.

Решение для упражнения Б.16

a) Для заданного дискретизированного распределения вероятность того, что Q попадает в диапазон между Q′ и Q″ , — это сумма вероятностей для всех интервалов, расположенных между этими значениями:

В пределе при δ Q → 0 эта аппроксимация становится равенством, потому что и Отсюда, согласно определению (Б.10) непрерывной плотности вероятности, а также определению интеграла, имеет место равенство

где i ( Q ) — это номер интервала, к которому относится значение Q .

b) Согласно пункту a), интеграл (Б.12) соответствует вероятности обнаружить любое значение Q между —∞ и +∞ и, значит, равен единице.

c) В дискретном случае

где суммирование проводится по всем интервалам. Переход от суммирования к интегрированию в пределе при δ Q → 0 производится аналогично тому, как это сделано в пункте a).

Решение для упражнения Б.17.Вероятность того, что ядро не распадется через время t от начала эксперимента, равна 2 —t /τ. Тогда вероятность того, что событие распада происходит между моментами t и t + δ t , должна быть пропорциональна производной этой функции, т. е. тоже 2 —t /τс некоторым коэффициентом. Соответственно, pr( t ) = C × 2 —t /τ, где C — постоянная нормирования, которую можно найти при помощи (Б.12):

И это означает, что неопределенность равна

Решение для упражнения Б.18

a) Это следует непосредственно из уравнений (Б.15) и (Б.17).

где мы заменили переменную интегрирования в соответствии с t = x — a . Первый член в этом выражении обнуляется, потому что представляет собой интеграл нечетной функции. Второй член равен a , согласно пункту a).

Глава РВ

Решение для упражнения В.2.См. рис. РВ.1.

Решение для упражнения В.3.Схема поляризации (В.2) в точке z + Δ z в момент времени t такая же, как в точке z в момент времени t — ( k /ω)Δ z = t — Δ z / c . Поскольку вектор поля есть периодическая функция от времени, сдвиг во времени не изменит форму его траектории.

Решение для упражнения В.4

a) Согласно (В.1),

E H ( z,t ) = A H cos( kz — ω t +ϕ H ); (РВ.1)

E V ( z,t ) = A V cos( kz — ω t +ϕ V ).