Александр Львовский - Отличная квантовая механика

Поляризация линейна тогда и только тогда, когда E H ( z,t ) = 0, или E V ( z,t ) = 0, или E H ( z,t ) = λ E V ( z,t ) с некоторым коэффициентом λ. Первые два условия выполняются в том и только том случае, если A H = 0 или A V = 0 соответственно. Третье условие подразумевает, что два косинуса пропорциональны друг другу, а это может произойти тогда и только тогда, когда сдвиг по фазе между ними составляет m π.

b) Для начала обратим внимание: в круговой картине максимальное абсолютное значение для горизонтального и вертикального компонентов должно быть одинаковым, поэтому A H = ± A V. Далее, круговая картина означает, что а это подразумевает, что

cos 2( kz − ω t + ϕ H ) + cos 2( kz − ω t + ϕ V ) = const.

Поскольку cos 2ϕ = (cos 2ϕ+1)/2 для любого ϕ, это условие эквивалентно

cos[2( kz − ω t + ϕ H )] + cos[2( kz − ω t + ϕ V )] = const.

Воспользовавшись еще одним тригонометрическим тождеством: cosϕ + cosθ = 2cos[(ϕ + θ)/2]cos[(ϕ − θ)/2], получим

cos[2( kz − ω t ) + ϕ H + ϕ V ]cos(ϕ H − ϕ V ) = const.

Поскольку первый множитель в левой части приведенного выше условия не может быть константой, это условие выполняется тогда и только тогда, когда cos (ϕH — ϕV) = 0, т. е.

Решение для упражнения В.5.Мы попробуем доказать, что существует множество чисел { A, B, C, D }, не зависящих от z и t , таких, что

где E H( z, t ) и E V( z, t ) — соответственно горизонтальная и вертикальная компоненты волны, задаваемой уравнением (В.1). Из аналитической геометрии известно, что (РВ.2) представляет собой одно из конических сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Поскольку и E H, и E V — ограниченные функции, (РВ.2) может описывать только эллипс, крайними случаями которого являются круговая и линейная траектории.

При помощи тригонометрических тождеств запишем (В.1) следующим образом:

E H = A H( c H c — s H s );

E V = A V( c V c — s V s ), (РВ.3),

где мы определили c = cos( kz — ω t ), s = sin( kz — ω t ), c H,V = cos ϕV,H и s H,V = sin ϕV,H. Теперь преобразуем левую часть уравнения (РВ.2):

где мы использовали Приведенный результат упрощается до вида

если A, B и D таковы, что коэффициенты перед переменными c 2— s 2и cs , зависящими от ( z, t ), в уравнении (РВ.4) превращаются в нуль:

Это система двух уравнений с тремя неизвестными, поэтому она всегда имеет нетривиальное решение. Для данного решения выполняется уравнение (РВ.5), которое идентично уравнению (РВ.2) при

Решение для упражнения В.6.Показатели преломления n e и n o изменяют длину обыкновенной волны согласно λo = λ/ n o, а необыкновенной — согласно λe = λ/ n e, что соответствует волновым числам k e = 2π n e/λ и k o = 2π n o/λ. Проходя сквозь кристалл, эти волны приобретают фазы ϕe = k e L и ϕo = k o L , так что Δϕ = 2π( n e — n o) L /λ.

Решение для упражнения В.7.Полуволновые и четвертьволновые пластинки с вертикальными оптическими осями сдвинут фазу вертикального компонента поля на π и π/2 соответственно. См. рис. РВ.2.

Решение для упражнения В.9.Картины линейной поляризации с углами ±45° соответствуют A H = ± A V и ϕH = ϕV + m π, где m — целое число. Сравнивая это условие с условием из упр. В.4(b), находим, что волны с поляризацией ±45° и круговой поляризацией получаются друг из друга путем добавления ±π/2 к ϕV — а это в точности то, что делает четвертьволновая пластинка.