Анатолий Ахутин - История принципов физического эксперимента от античности до XVII века

Принцип рассмотрения каждого объекта как целого и всего космоса как внутри себя структуированного тела является для пифагорейцев наиболее характерным. Насколько исследование пропорциональной структуры не было для пифагорейцев просто исследованием целочисленных отношений, видно хотя бы на примере такого относительно позднего пифагорейца, как Архит, с его проблемой деления октавы. Его прежде всего интересует внутреннее гармоническое строение октавы. Задача была бы решена как теоретическая, если бы удалось найти «элементарный» интервал. Что ни арифметическая, ни тем более геометрическая пропорция не делят октаву «пополам» 49 , более того, что такое деление вообще невозможно и приходится использовать арифметическую и гармоническую пропорции, т. е. принимать для одной точки два значения 50 ,— это было ясно Архиту. Деление октавы, таким образом, бесконечно, и сама величина интервала бесконечно изменчива. Ни о каком атомизме здесь поэтому не может быть и речи 51 .

А. Калькман 52 указывает, что в «Каноне» Поликлета отношение между частями выражалось сложными дробями и даже иррациональными числами.

Следует в этой связи более критически отнестись к общераспространенному мнению, что переход от пифагорейской арифметики к геометрической алгебре произошел главным образом вследствие открытия несоизмеримости 53 .

Создается впечатление, что дело могло происходить и несколько по-иному. Несоизмеримость ни в малой мере не беспокоит до тех пор, пока число изображается точками, составляющими геометрическую фигуру, пока, с другой стороны, каждое отдельное тело измеряется своей собственной мерой и выступает как бы со своей собственной качественной единицей.

Наоборот, именно переход к представлению о некотором модуле и абстрактной единице, порождающей все, и, следовательно, в равной мере как сторону квадрата, так и его диагональ, т. е. именно уже развитые геометрические представления обнаруживают несоизмеримость не как факт, а как проблему. И подобные представления мы встречаем довольно поздно. Так, только у Феона Смирнского мы находим следующее высказывание: «Единица, как начало всех чисел, в потенции является и стороной и диагональю» 54 . Поэтому, если и относить это воззрение к пифагорейцам, то, по-видимому, не раньше платоновского времени. В «Тимее» Платон начинает свое априорно-теоретическое построение космоса из двух пропорциональных рядов: двухстепенного (1—2—4—8) и трехстепенного (1—3—9—27), общим началом для которых является единица 55 . Утверждение единой для всех чисел единицы вместе с давно известным фактом несоизмеримости и составляет здесь подлинную проблему.

По-видимому, уместно еще раз напомнить, что математические на современный взгляд проблемы для пифагорейских ученых в равной мере были непосредственно предметными, и нас они интересуют именно в качестве таковых 5в . Связь проблемы несоизмеримости с геометрической алгеброй занимает нас постольку, поскольку ее можно рассматривать в качестве мысленно-экспериментальной проблемы, а в таком Контексте она есть лишь одна из первых и наиболее отчетливых формулировок радикальнейшей проблемы всего античного теоретического мышления — проблемы взаимоотношения дискретного и непрерывного.

Для первоначального арифметизма характерно утверждение двух основных начал числа вообще: «чета» и «нечета». Фундаментальный смысл четного и нечетного был ясен уже древнейшему пифагореизму. Они составляли одну из пар пифагорейской декады противоположностей". VII книга Евклидовых «Начал» прежде всего проводит классификацию чисел по их отношению к четности и нечетности 58 . Каков смысл этого различения? Помимо того что таким образом проводилось разделение предметов по их взаимной неуподобляемости, несопоставимости и, таким образом, обходилась проблема иррациональности (т. е. вводились с самого начала две несоизмеримые друг с другом меры-единицы, измеряющие соответствующие объекты: так, равнобедренный прямоугольный треугольник был четно-нечетным объектом, т. е. составленным из несоизмеримых элементов), четность и нечетность являлись основными характеристиками идеального объекта, по которым можно было бы решить, является ли он простым или составным объектом.

Слова Платона из «Эпиномиса», приведенные в примечании 57 , знаменательны во многих отношениях, и мы часто еще будем к ним возвращаться. Здесь мы должны отметить два обстоятельства. Во-первых, неоднократно уже нами подчеркиваемый предметный, мысленно-экспериментирующий характер античной математики, который заключается, по меткому определению Платона, в уподоблении чисел, по природе не подобных друг другу.