Айзек Азимов - Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Работа, приложенная к телу, которая необходима, чтобы вывести его из положения равновесия и переместить в данную точку, равна силе, умноженной на расстояние, на котором приложена сила. Это означает ka/2 умножить на a, или ka 2/2. В крайней точке вся эта работа будет запасена в виде потенциальной энергии и поэтому максимальная потенциальная энергия тела, перемещающегося на условиях простых гармонических колебаний, равна ka 2/2.

В то же самое время кинетическая энергия тела достигает своего максимального значения в средней точке, там, где вся потенциальная энергия была преобразована в движение и где скорость достигает своего максимума. Кинетическая энергия тогда равна mv 2/2, где m — масса тела, a v его максимальная скорость.

Так как потенциальная энергия и кинетическая энергия постоянно конвертируются между собой в течение всего времени существования простых гармонических колебаний без существенных потерь, максимальная величина потенциальной энергии и максимальная величина кинетической энергии должны быть равны. Таким образом:

Мы легко можем преобразовать это уравнение:

Заменив (m/k) на (a/v) в уравнении 8.1, мы получаем:

Это совершенно удивительный результат, поскольку выясняется, что период простых гармонических колебаний зависит только от массы перемещающегося тела и пропорционален константе между нагрузкой и напряжением. Все эти данные могут легко быть определены для данного специфического тела, и, таким образом, мы можем сразу рассчитать период колебаний.

Следует отметить, что период колебаний не зависит ни от скорости тела, перемещающегося с простыми гармоническими колебаниями, ни от расстояния, на которое тело перемещено из среднего положения, так как и v и а исчезли из уравнения 8.4. Это означает, что, если струна оттянута на некоторое расстояние от ее среднего положения, она достигнет некоторой максимальной скорости в средней точке ее колебаний и будет иметь некоторый период вибрации. Если ее оттянуть на большее или меньшее расстояние, она получит большую или соответственно меньшую максимальную скорость; в любом случае изменения в скорости будет только достаточно, чтобы восполнить изменение в расстоянии смещения, так что период колебаний останется тем же самым.

Этот постоянный период вибрации является большим благом для всего человечества, потому что предлагает средство для весьма точного измерения времени — подсчет колебаний, причем даже затухающих колебаний.

Теоретически любые периодические колебания делают это возможным. Первым периодическим движением, которое служит человечеству в качестве часов, было непосредственно само движение Земли; каждый поворот планеты на ее оси отмечает один день и ночь, а каждый поворот планеты относительно Солнца отмечает один цикл сезонов. К сожалению, движения Земли не могут нам предложить хороших средств измерения промежутков времени меньше чем длиною в день.

В древние времена человечество использовало апериодические движения, разбитые (как надеялись) на равные части. Они включают в себя движение тени по основанию, движение песка через узкое отверстие, капанье воды через отверстие, сокращение длины горящей свечи и так далее. Все, что можно было получить таким способом, — это довольно приблизительно равные промежутки времени; и только в середине XVII столетия появилась возможность сообщить время с точностью до часа или менее или измерить единицы времени меньшие чем час с некоторой разумной точностью.

Только когда стали использоваться периодические колебания с короткими периодами вибрации, стали возможными современные устройства для измерения времени, а вместе с ними (до очень большой степени) и вся современная наука.

Сам Галилео весьма страдал от неспособности точно измерить короткие интервалы времени. (В некоторых случаях он использовал для замера времени свой пульс, и хотя это было периодическое явление, но, к сожалению, не очень устойчивое.) Однако хотя он непосредственно сам и не извлек выгоды из этого, он был первым, кто обнаружил периодические колебания, которые в конечном счете стали использоваться для измерения времени.

В 1583 году, когда Галилео был юношей и студентом-медиком в Университете Пизы, он однажды пошел в местный собор, чтобы помолиться. Но даже его глубокая вера (а Галилео всегда был очень набожным человеком) не смогла удержать его пытливый ум от наблюдений. Он не мог не заметить колебание паникадила [30] Паникадило — огромная многоярусная люстра со свечами, свисающая в зал (неф) из-под купола собора. (Примеч. пер.) в нефе. Время от времени благодаря капризу ветра оно описывало большую дугу, время от времени — меньшую, но, как показалось Галилео, период колебаний все время был тем же самым независимо от длины дуги. Он прервал свои молитвы и проверил эту догадку, рассчитав колебания при помощи своего пульса.