Айзек Азимов - Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

Если рассматриваемый круг имеет радиус длины a, тогда длина его окружности равна 2πa. Если точка перемещается со скоростью v, то время t, которое требуется, чтобы сделать полное обращение (период кругового движения), равно:

Теперь если мы представим себе круг, бросающий тень на стену, то тень его боковой поверхности будет прямой линией. Точка, перемещающаяся по кругу, на тени будет казаться перемещающейся вперед и назад по прямой линии. По мере движения точки по окружности точка на тени будет совершать возвратно-поступательное движение по прямой линии. Период колебаний по окружности (уравнение 8.1) будет также равен периоду вибрации тени.

На любом из крайних положений линии-тени точка будет казаться перемещающейся очень медленно, потому что ее движение по кругу отражается на линию-тень под более или менее прямым углом, что дает очень немного поперечного движения. (А только поперечное движение обнаружит себя на тени.) По мере передвижения точки в промежуточные части круга его движение становится все более поперечным и все менее поступательным по отношению к линии, так что точка на тени кажется двигающейся все быстрее и быстрее, чем дальше она находится от крайнего положения. Таким образом, когда точка находится в самом центре, точка на окружности перемещается параллельно линии и все ее движение — поперечно. В центре теневой линии поэтому точка кажется перемещающейся самым быстрым образом. Движение точки по линии-тени напоминает движения тела при простых гармонических колебаниях, и действительно, данное движение является таковым. Следовательно, формула 8.1 представляет собой период (t) простых гармонических колебаний.

Уравнение 8.1 все еще представляет трудность для анализа, так как включает в себя скорость v, и, в то время как точка перемещается по окружности с постоянной скоростью, она перемещается по линии-тени с постоянно меняющейся скоростью. Поэтому мы должны найти, если возможно, что-то, что займет место v.

В любых простых гармонических колебаниях максимальная скорость проходит через среднюю точку между двумя экстремумами. В этот момент тело, испытывающее такое движение, находится в положении равновесия, где оно и осталось бы, если бы находилось в состоянии покоя. В этой точке тело не обладает никакой потенциальной энергией, а обладает только энергией движения, или, как ее иначе называют, «кинетической энергией». Поскольку тело перемещается дальше от своего положения равновесия, оно теряет скорость и поэтому теряет кинетическую энергию. Однако оно перемещается в положение, в котором кинетическая энергия равна нулю, зато получает энергию положения, или, как ее иначе называют, «потенциальную энергию». В экстремальном положении тело останавливается на мгновение, и вся его энергия находится в форме потенциальной энергии. Тело, участвующее в простых гармонических колебаниях, демонстрирует периодический переход кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно и (не принимая во внимание эффект демпфирования трением и сопротивление воздуха) являет собой превосходный пример сохранения механической энергии.

Как я уже сказал ранее, в соответствии с законом Гука, сила упругости, приложенная к телу, испытывающему простые гармонические колебания, пропорциональна его смещению от положения равновесия. Она равна F = kd, где F — сила упругости, а d — смещение. Сила упругости — наименьшая в положении равновесия (которое находится в центре нашей прямолинейной тени). В этой точке не имеется никакого смещения и сила упругости равна нулю. Максимальное значение силы упругости достигается в точке максимального смещения, которая, конечно, расположена на краю прямолинейной тени. Это крайнее положение равно расстоянию a (радиусу окружности, которая отбрасывает прямолинейную тень) от центра или положения равновесия, следовательно, мы можем сказать, что сила упругости в ее максимальном значении равна ka.

В то время как тело перемещается из положения равновесия до крайнего положения, оно перемещается против силы, которая начинается в 0 и плавно увеличивается до ka, а средняя сила, против которой действует перемещающееся тело, поэтому равна ka плюс 0, разделенные на два, или (ka/2).