Владимир Дьяконов - Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Это как раз тот случай, когда надо обратить особое внимание на результаты полученные системой Maple. А теперь покажем, как выглядит этот пример при его решении в системе Maple 9.5 — рис. 4.4. Обратите внимание на «провал» графика в средней части.

Рис. 4.4. Построение графика зависимости значений интеграла с подынтегральной функцией 1/(х+а)^2 от параметра a

Интересно, что если в нашем случае, применить параметр continuous (в апострофах) при вычислении интеграла, можно получить более простое выражение:

> int(1/(х+а)^2,х=0..2,`continuous`);

Рис. 4.5 показывает это решение с двумя важными дополнениями — оно представляется функцией пользователя, а ее график строится при изменении а от -10 до 10. «Провал» в средней части графика уже отсутствует.

Рис. 4.5. Зависимость значения интеграла с подынтегральной функцией 1/(х+а)^2 и пределами от 0 до 2 от параметра а

Приведем еще один пример «каверзного» интеграла довольно простого вида:

> int(1/х^3,х=-1..2);

Этот интеграл не берется вообще, так что Maple совершенно справедливо об этом и сообщает. Но введение параметра CauchyPrincipalValue позволяет получить численное значение интеграла:

> int(1/х^3,х=-1..2,`CauchyPrincipalValue`);

Возьмем еще один наглядный пример — вычисление интеграла от синусоидальной функции при произвольно больших пределах, но кратных 2π! Очевидно, что при этом (учитывая равность площадей положительной и отрицательной полуволн синусоиды) значение интеграла будет равно 0. Например:

> int(sin(х),x=-1000*pi..1000*pi);

Однако распространение этого правила на бесконечные пределы интегрирования является грубейшей ошибкой. Интеграл такого рода уже не сходится и Maple дает соответствующий результат:

> int(sin(х),x=-infinity..infinity);

Во многих областях техники часто употребляются математически неточные выражения «затухающая синусоида» или «нарастающая синусоида». Возьмем, к примеру, широко распространенную функцию: у(t)=exp(-t)sin(2π). Построим ее график и вычислим определенный интеграл от этой функции с пределами от 0 до ∞ (рис. 4.6).

Рис. 4.6. График «затухающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от 0 до ∞

С первого взгляда на график видно, что каждая положительная полуволна функции (затухающей «синусоиды») явно больше последующей отрицательной полуволны. К тому же осцилляции функции быстро затухают и через десяток-другой периодов значение функции становится исчезающе малым. Вот почему Maple уверенно вычисляет интеграл с такой подынтегральной функцией. Ее свойство — неопределенность при t →∞ просто исчезает.

А теперь возьмем антипод этой функции — «синусоиду с экспоненциально нарастающей до стационарного значения 1 амплитудой». Такая функция записывается следующим образом:

Ее график и попытки вычисления интеграла с такой подынтегральной функцией приведены на рис. 4.7.

Рис. 4.7. График «экспоненциально нарастающей синусоиды» и интеграл от нее с пределами от 0 до ∞

Обратите внимание на то, что здесь прямое вычисление интеграла к успеху не привело, хотя из графика функции видно, что каждая положительная полуволна в близкой к t=0 области явно больше по амплитуде, чем последующая отрицательная полуволна. Однако, в отличие от предыдущей функции, при больших значениях аргумента данная функция вырождается в обычную синусоиду с неизменной (и равной 1) амплитудой. Вот почему Maple честно отказывается вычислять не сходящийся интеграл от такой «коварной» функции.

Несобственными интегралами называют интегралы, у которых хотя бы один из пределов или подынтегральная функция устремляются в бесконечность. Соответственно различают несобственные интегралы первого и второго родов. Вычисления таких интегралов требует повышенного внимания и порой использования специальных методов. Из-за этого в старых реализациях Maple нередко такие интегралы просто не вычислялись, хотя на самом деле их решения (порою в виде специальных функций) существовали.