Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

Чтобы ощутить грандиозность подобных чисел, стоит затратить немного времени на "арифметическую гимнастику", развивающую способность правильно оценивать подлинные размеры больших чисел.

Начнем с миллиона — старейшего числового великана (наименование миллион впервые появилось в 1500 году в Италии).

Если хотите ощутить истинные размеры миллиона, попробуйте хотя бы проставить в чистой тетради миллион точек . Я не предлагаю вам доводить такую работу до конца (едва ли у кого на это хватит терпения); уже одно начало работы, медленный ее ход дадут вам почувствовать, что такое "настоящий" миллион"

Здесь я предлагаю доступный для каждого способ развить в себе возможно отчетливое представление о величине миллиона. Для этого нужно дать себе труд поупражняться в мысленном миллионном счете мелких, но хорошо знакомых нам единиц — шагов, минут, спичек, стаканов и т. п. Результаты получаются нередко неожиданные и поразительные.

Приведем несколько примеров.

Сколько времени отняла бы у вас работа — пересчитать миллион каких-либо предметов, по одному в каждую секунду?

Оказывается, что, считая безостановочно по 10 часов в сутки, вы закончили бы подсчет в месяц времени! Приблизительно удостовериться в этом нетрудно устным вычислением: в часе 3600 секунд, в 10 часах — 36000; в трое суток вы, следовательно, пересчитаете всего около 100 000 предметов; а так как миллион в 10 раз больше, то, чтобы досчитать до него, понадобится 30 дней [44] Отметим, для сведения, что в году (астрономическом) 31 558 150 секунд; миллион секунд в точности равен 11 суткам 13 часам 46 минутам 40 секундам. .

Отсюда следует, между прочим, что предложенная ранее работа — поставить в тетради миллион точек — потребовала бы многих недель самого усердного и неустанного труда.

Тонкость волоса вошла чуть не в поговорку. Все часто видят волос и хорошо знают, насколько он тонок.

Толщина человеческого волоса — около 0,07 мм. Мы округлим ее для удобства вычислений до 0,1 мм. Представьте себе, что рядом, бок о бок, положен миллион волос. Какой ширины получилась бы полоса? Можно ли было бы, например, протянуть ее поперек двери от косяка до косяка?

Автомобиль "Победа" (справа внизу) перед отрезком человеческого волоса, увеличенного в миллион раз.

Если вы никогда не задумывались над такой задачей, то можно поручиться, что, не проделав вычисления, вы дадите грубо ошибочный ответ. Вы будете, пожалуй, даже оспаривать правильный ответ — настолько покажется он неправдоподобным. Каков же он?

Оказывается, что волос, увеличенный по толщине в миллион раз, имел бы около сотни метров в поперечнике! Это кажется невероятным, но дайте себе труд сделать подсчет, и вы убедитесь, что так и есть:

0,1 мм х 1000000 = 0,1 м х 1000 = 0,1 км = 100 м [45] Мы проделали здесь умножение следующим путем: вместо умножения числа, мы дважды заменили самую единицу меры другой, в тысячу раз большей. Этот прием очень удобен для устных подсчетов, и им следует пользоваться при выкладках с метрическими мерами. .

Проделайте — лучше всего устно — еще ряд упражнений, чтобы освоиться надлежащим образом с величиной миллиона.

1. Величина обыкновенной комнатной мухи общеизвестна— около 7 мм в длину. Но какова была бы ее длина при увеличении в миллион раз?

Решение.

Умножим 7 мм на 1 000 000, получим 7 км — примерно ширина Москвы или Ленинграда. Значит, муха, увеличенная линейно в миллион раз, могла бы покрыть своим телом столичный город!

2. Увеличьте мысленно в миллион раз (по ширине) ваши карманные часы — и получите снова поражающий результат; едва ли вам удастся предугадать его без расчета. Какой?

Решение.

Часы имели бы в ширину километров 50, а каждая цифра простиралась бы на географическую милю (7 км).

3. Какого роста достигал бы человек, увеличенный в миллион раз?

Решение.

1700 километров! Он был бы всего в 8 раз меньше поперечника земного шара. Буквально одним шагом мог бы он перешагнуть из Ленинграда в Москву, а если бы лег, то растянулся бы от Финского залива до Крыма…

Приведу еще несколько готовых подсчетов того же рода, предоставляя проверку их читателю.

Миллион человек , выстроенных в одну шеренгу плечом к плечу, растянулись бы на 250 км.