Яков Перельман - Занимательная арифметика [Загадки и диковинки в мире чисел]

При подсчете числа цифр не обращают на запятую внимания: так, 4,57 есть число трехзначное и т. п.

Число значащих цифр степени приближенного числа не должно превышать числа их в основании степени. Излишние цифры заменяются нолями.

Примеры:

157 2= 24 600 (а не 24 649);

5,81 3= 196 (а не 196,122941).

Правила эти относятся лишь к результатам окончательным. Если же выполняемым действием расчет еще не заканчивается, то в результате такого промежуточного действия удерживают одной значащей цифрой больше, чем требуют правила. Выполняя, например, вычисление

(36 х 1,4)/3,4,

поступают так:

36 х 1,4 = 50,4 (удерживают не две, а три цифры);

50,4:3,4 = 15.

При несложных технических расчетах указанные выше правила могут быть почти во всех случаях применяемы следующим упрощенным образом. Прежде чем вычислять, устанавливают по числу цифр самого короткого данного, сколько достоверных цифр может заключать окончательный результат. Когда это установлено, приступают к выкладкам; причем во всех промежуточных выкладках удерживают одной цифрой больше, чем установлено для окончательного результата.

Если, например, в условии задачи дано несколько трехзначных чисел и одно двузначное, то окончательный результат будет иметь две достоверные цифры, а промежуточные результаты надо брать с тремя цифрами.

Итак, все правила приближенных вычислений могут быть при выполнении расчетов сведены к двум следующим:

1) устанавливают, сколько значащих цифр в самом коротком из данных задачи: столько же значащих цифр нужно будет удержать в окончательном результате;

2) в результате всех промежуточных вычислений удерживают одной цифрой больше , чем установлено для окончательного результата [43] Подробнее о приближенных вычислениях см. брошюру Я. И. Перельмана "Таблицы и правила для вычислений". .

Прочие цифры во всех случаях заменяют нолями или отбрасывают по правилам округления.

Правила эти неприменимы к тем задачам (встречающимся редко), для решения которых нужно производить только действия сложения и вычитания. В таких случаях придерживаются другого правила.

Окончательный результат не должен иметь значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. В промежуточных результатах надо удерживать одной значащей цифрой больше, чем установлено для окончательного. От прочих цифр освобождаются округлением.

Если, например, данные задачи таковы:

37,5 м, 185,64 м, 0,6725 м

и для решения требуется вычесть первое число из суммы других, то в сумме

как в промежуточном результате, откидывают последнюю цифру (то-есть берут 186,312), а в разности

как в результате окончательном , удерживаем лишь 148,8.

Как оценить, сколько вычислительной работы сберегаем мы, пользуясь изложенными сейчас приемами? Для этого надо какой-нибудь сложный расчет выполнить двояко: один раз — по обычным арифметическим правилам, другой — приближенно. А затем терпеливо подсчитать, сколько раз при том и другом подсчете приходилось нам складывать, вычитать и умножать отдельные цифры. Окажется, что приближенный расчет потребует таких элементарных операций в 2 1/ 2раза меньше, чем "точный". Ущерба же для правильности результата в приближенном расчете нет никакого.

Итак, приближенные вычисления требуют примерно в 2 1/ 2раза меньше времени, нежели вычисление по обычным правилам. Но это еще не все сбережение времени, какое при этом достигается. Ведь каждая лишняя счетная операция, каждый лишний случай сложения, вычитания или умножения цифр является лишним поводом сделать ошибку. Вероятность ошибиться при приближенных выкладках в 2 1/ 2раза меньше, чем при "точных". А стоит хоть раз ошибиться — и вычисление придется переделать заново, если не все целиком, то часть его. Значит, сбережение труда и времени при приближенных расчетах получается во всяком случае больше, чем в 2 1/ 2раза. Время, затраченное на ознакомление с ними, вознаграждается очень быстро и щедро.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КУРЬЕЗЫ

Умножение = вычитанию.

1 х 1/ 2= 1 — 1/ 2

6 х 6/ 7= 6 — 6/ 7

1/ 2х 1/ 3= 1/ 2— 1/ 3

1/ 3х 1/ 4= 1/ 3— 1/ 4

Для тех, кто не отдает себе достаточно ясного отчета в огромности миллиона и миллиарда, остаются не вполне осознанными колоссальные достижения нашего социалистического строительства, выражающиеся миллионными и миллиардными числами.