Jaime Balmes - Filosofía Fundamental, Tomo IV

Se sigue de lo dicho que ninguna diferencia entre cantidades positivas puede ser infinita absolutamente; y que si en algun modo lo es, no puede serlo en el sentido del minuendo, y que en tal caso el reunir estas dos ideas de diferencia é infinito, es incurrir en una contradiccion 1 1 Hablo de diferencia entre cantidades positivas , porque en no suponiéndolas tales, se puede representar algebráicamente una diferencia infinita. Sean estas dos cantidades (x-a) y (-a). Buscando la diferencia tenemos: D = (x-a) – (-a) = x-a+a = x. .

La diferencia entre una cantidad infinita, y otra finita dada, no podrá ser otra finita dada, sino que será infinita en algun sentido. Supongamos una línea infinita, y otra finita de un valor dado; la diferencia entre las dos no la podemos expresar en un valor lineal finito dado. Porque supuesto que la línea es finita y dada, podremos suponerla á la línea infinita en una cualquiera de sus direcciones, y desde uno cualquiera de sus puntos, en cuyo caso llegará hasta un cierto punto de la infinita, pero esta continuará prolongándose hasta lo infinito. Si suponemos otra línea finita dada, en la cual pensamos representar la diferencia, deberemos superponerla á la infinita desde el punto en que acaba la otra finita, y es evidente que se acabará en otro punto determinado por la longitud de la misma, luego no agotará la diferencia entre la línea infinita, y la finita.

El mismo resultado se encuentra con expresiones algebráicas. Si A es un valor finito dado, la diferencia entre A y ∞ no puede ser otro valor finito dado. Porque expresando la diferencia por D, tendremos ∞-A=D. Luego D+A=∞, luego si ambos fuesen valores finitos dados, un infinito resultaria de dos valores finitos dados, lo que es imposible.

Se infiere de esto que una diferencia puede ser infinita en cierto sentido, segun la acepcion que diésemos á la palabra infinidad. Si desde el punto en que nos hallamos se tira una línea en la direccion del norte hasta lo infinito, y luego se la prolonga en la direccion del sud tambien hasta lo infinito, la diferencia entre la suma de las dos y una de ellas, será infinita en un solo sentido (Cap. VIII).

Lo que hallamos en valores lineales lo encontraremos tambien en expresiones algebráicas: si tenemos el valor infinito 2 ∞, y lo comparamos con ∞, resultará 2 ∞-∞=∞.

En general teniendo un valor infinito cualquiera, podemos sacar con respecto á él una diferencia finita cualquiera, con tal que no tomemos por substraendo, un valor finito dado. Sea ∞ el valor infinito, digo que podemos encontrarle una diferencia finita. Porque siendo ∞ un valor infinito, contiene todos los valores finitos de su órden; luego contiene el valor finito A; y por consiguiente puedo formar esta ecuación: ∞-A=B. Sea cual fuere el valor de B, tengo que lo que va de B á ∞ es A; pues con solo añadir A á B, me resulta ∞. La ecuación ∞-A=B; me da B+A=∞, y tambien ∞-B=A; y como A es un valor finito dado por el supuesto, y A es la diferencia finita dada, entre ∞ y B, resulta que á todo valor infinito se le puede encontrar una diferencia finita.

Inferiremos de esto que el poderse asignar á una extension infinita una diferencia finita no prueba nada contra su verdadera infinidad. Lo infinito, por lo mismo que es tal, contiene todo lo perteneciente al órden en que es infinito: tomando uno cualquiera de aquellos valores, y considerándole como una diferencia, nos resultará una diferencia finita. Mas esto lejos de probar la falta de infinidad, confirma su existencia; pues indica que todo lo finito está contenido en lo infinito.

En tal caso el substraendo será infinito bajo cierto aspecto; pero no lo será en el órden del minuendo, por faltarle la cantidad que se ha quitado.

[87.] Hay en contra de la infinidad absoluta de la extension otro argumento que me parece mas fuerte que ninguno de los anteriores, y que no sé por qué no habrá ocurrido á los que combaten dicha posibilidad; hélo aquí. Supongamos existente una extension infinita. Dios puede anonadarla, y despues criar otra nueva igualmente infinita. La suma de las dos es mayor que una cualquiera de ellas; luego ninguna de por sí será infinita. Es evidente que este aniquilamiento se puede suponer repetido tantas veces como se quiera; de donde resultará una serie de extensiones infinitas. Los términos de esta serie no pueden existir á un mismo tiempo, pues que una extension infinita actual excluye las otras; luego como la suma de las extensiones es mayor que un número cualquiera de los sumandos, la extension infinita absoluta debe hallarse, nó en los sumandos sino en la suma, luego la extension infinita en acto es intrínsecamente imposible.

Para desvanecer esta dificultad se debe distinguir entre la extension y la cosa extensa: toda la cuestion gira sobre la posibilidad intrínseca de la infinidad de la extension, considerada en sí, prescindiendo absolutamente del sujeto en que se halla. La dificultad propuesta hace desfilar á nuestros ojos una serie de extensiones infinitas que se suceden; pero si bien se reflexiona la sucesion se verifica entre los seres extensos, cuyo número se va multiplicando; pero nó en la extension misma. La idea pura de la extension infinita que tenemos para un caso, no se aumenta con las nuevas extensiones que vienen; la extension aparece, desaparece, reaparece y vuelve á desaparecer, mas con esto no se aumenta. La sucesion nos indica la posibilidad intrínseca de su aparicion y desaparicion, su contingencia esencial, por lo que no le repugna el dejar de existir cuando existe, y el pasar de nuevo de la no existencia á la existencia. Examinemos nuestras ideas, y echaremos de ver que concebida la extension infinita, no la podemos agrandar con ninguna suposicion imaginable; y que todo cuanto hacemos se reduce á una sucesion de producciones y aniquilamientos. La idea de la extension infinita parece un hecho primitivo de nuestro espíritu; esa infinidad que imaginamos en el espacio, no es otra cosa que el resultado de los esfuerzos de nuestra idea para expresarse en una realidad. Habiendo sido criados con intuicion sensible, se nos ha dado la posibilidad de dilatar esa intuicion en una escala infinita; para esto necesitábamos la idea de una extension infinita.

[88.] La cuestion sobre la posibilidad de una extension infinita es muy diferente de la de su existencia. Admitiendo la primera se puede negar la segunda.

Descartes sostiene que la extension del mundo es indefinida; pero esta palabra que puede tener un sentido muy razonable, si se refiere al alcance de nuestra inteligencia, carece de significado cuando se la aplica á las cosas. No hay inconveniente en decir que la extension del mundo es indefinida, si se entiende que nosotros no podemos asignar sus límites; pero en la realidad los límites existirán ó no existirán, independientemente de la posibilidad de asignarlos nosotros; no hay medio entre el sí y el nó; luego no hay medio entre la existencia de los límites, y su no existencia. Si existen, la extension del mundo es finita; si no existen, es infinita; en todo caso la palabra indefinido no expresa nada.

El argumento de Descartes, si prueba algo, prueba la verdadera infinidad del mundo; pues que si hemos de retirar indefinidamente los límites de este, porque indefinidamente concebimos siempre una extension mas allá de toda otra extension; como por otra parte sabemos que esta serie de conceptos no tiene ningun límite, podemos trasladar desde luego la ilimitacion al objeto que corresponde á los conceptos, y afirmar que la extension del mundo es absolutamente infinita. Desgraciadamente, el argumento de Descartes flaquea por su base, pues consiste en un tránsito del órden ideal ó mas bien imaginario, al real; tránsito que una sana lógica no puede permitir (V. Lib. III, cap. VIII).