Gottlob Frege - Die Grundlagen der Arithmetik

Sehr entschieden im Sinne der analytischen Natur der Zahlgesetze spricht sich W. Stanley Jevons aus 28 28 The principles of science. London 1879. S. 156. : »Zahl ist nur logische Unterscheidung und Algebra eine hoch entwickelte Logik.«

§ 16. Aber auch diese Ansicht hat ihre Schwierigkeiten. Soll dieser hochragende, weitverzweigte und immer noch wachsende Baum der Zahlenwissenschaft in blossen Identitäten wurzeln? Und wie kommen die leeren Formen der Logik dazu, aus sich heraus solchen Inhalt zu gewinnen?

Mill meint: »Die Lehre, dass wir durch kunstfertiges Handhaben der Sprache Thatsachen entdecken, die verborgene Naturprocesse enthüllen können, ist dem gesunden Menschenverstande so entgegen, dass es schon einen Fortschritt in der Philosophie verlangt, um sie zu glauben«.

Gewiss dann, wenn man sich bei dem kunstfertigen Handhaben nichts denkt. Mill wendet sich hier gegen einen Formalismus, der kaum von irgendwem vertreten wird. Jeder, der Worte oder mathematische Zeichen gebraucht, macht den Anspruch, dass sie etwas bedeuten, und niemand wird erwarten, dass aus leeren Zeichen etwas Sinnvolles hervorgehe. Aber es ist möglich, dass ein Mathematiker längere Rechnungen vollführt, ohne unter seinen Zeichen etwas sinnlich Wahrnehmbares, Anschauliches zu verstehen. Darum sind diese Zeichen noch nicht sinnlos; man unterscheidet dennoch ihren Inhalt von ihnen selbst, wenn dieser auch vielleicht nur mittels der Zeichen fassbar wird. Man ist sich bewusst, dass andere Zeichen für Dasselbe hätten festgesetzt werden können. Es genügt zu wissen, wie der in den Zeichen versinnlichte Inhalt logisch zu behandeln ist, und wenn man Anwendungen auf die Physik machen will, wie der Uebergang zu den Erscheinungen geschehen muss. Aber in einer solchen Anwendung ist nicht der eigentliche Sinn der Sätze zu sehen. Dabei geht immer ein grosser Theil der Allgemeinheit verloren, und es kommt etwas Besonderes hinein, das bei andern Anwendungen durch Anderes ersetzt wird.

§ 17. Man kann trotz aller Herabsetzung der Deduction doch nicht leugnen, dass die durch Induction begründeten Gesetze nicht genügen. Aus ihnen müssen neue Sätze abgeleitet werden, die in keinem einzelnen von jenen enthalten sind. Dass sie in allen zusammen schon in gewisser Weise stecken, entbindet nicht von der Arbeit, sie daraus zu entwickeln und für sich herauszustellen. Damit eröffnet sich folgende Möglichkeit. Statt eine Schlussreihe unmittelbar an eine Thatsache anzuknüpfen, kann man, diese dahingestellt sein lassend, ihren Inhalt als Bedingung mitführen. Indem man so alle Thatsachen in einer Gedankenreihe durch Bedingungen ersetzt, wird man das Ergebniss in der Form erhalten, dass von einer Reihe von Bedingungen ein Erfolg abhängig gemacht ist. Diese Wahrheit wäre durch Denken allein, oder, um mit Mill

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Sämmtliche Werke, herausgegeb. von Hartenstein, Bd. X, 1 Thl. Umriss pädagogischer Vorlesungen § 252, Anm. 2: »Zwei heisst nicht zwei Dinge, sondern Verdoppelung« u. s. w.

K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, 2. Aufl. § 94.

Studien über Association der Vorstellungen. Wien 1883.

Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.

Ich will damit natürlich nicht einen neuen Sinn hineinlegen, sondern nur das treffen, was frühere Schriftsteller, insbesondere Kant gemeint haben.

Wenn man überhaupt allgemeine Wahrheiten anerkennt, so muss man auch zugeben, dass es solche Urgesetze giebt, weil aus lauter einzelnen Thatsachen nichts folgt, es sei denn auf Grund eines Gesetzes. Selbst die Induction beruht auf dem allgemeinen Satze, dass dies Verfahren die Wahrheit oder doch eine Wahrscheinlichkeit für ein Gesetz begründen könne. Für den, der dies leugnet, ist die Induction nichts weiter als eine psychologische Erscheinung, eine Weise, wie Menschen zu dem Glauben an die Wahrheit eines Satzes kommen, ohne dass dieser Glaube dadurch irgendwie gerechtfertigt wäre.

Es wird also im Folgenden, wenn nichts weiter bemerkt wird, von keinen andern Zahlen als den positiven ganzen die Rede sein, welche auf die Frage wie viele? antworten.

Hobbes, Locke, Newton. Vergl. Baumann , die Lehren von Zeit, Raum und Mathematik. S. 241 u. 242, S. 365 ff., S. 475.

Kritik der reinen Vernunft, herausgeg. v. Hartenstein. III. S. 157.

Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen. S. 55.

B: Nouveaux Essais, IV. § 10. Erdm. S. 363.

C: Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis. Erdm. S. 94.

Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten. I. Theil: Arithmetik, Stettin 1860, S. 4.

A System der deductiven und inductiven Logik, übersetzt von J. Schiel. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 2.

A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

A. a. O. III. Buch, XXIV. Cap., § 5.

A. a. O. II. Buch, VI. Cap., § 3.

Baumann, a. a. O. II., S. 39; Erdm. S. 243.

Baumann a. a. O. Bd. II., S. 13 u. 14; Erdm. S. 195, S. 208 u. 209.

Baumann a. a. O. Bd. II., S. 38; Erdm. S. 212.

A. a. O. Bd. II., S. 669.

Lehrbuch der Analysis, Bd. I., S. 1.

Theorie der complexen Zahlensysteme, S. 54 u. 55.

Baumann a. a. O. Bd. II., S. 56; Erdm. S. 424.

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Baumann a. a. O. Bd. II., S. 57; Pertz, II., S. 55.

The principles of science. London 1879. S. 156.