Feynmann - Feynmann 9

[Как в (15.5).] Но вместо |y' 1> можно написать Q ^ |y 1>, а вместо |y 2> написать Q ^ |y 2>, так что (15.7) переписывается в виде

Теперь, если |y 2> заменить на U ^ |y 1> [см. (15.6)], то получим

Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если толь­ко U ^ при отражении не меняется.

А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном со­стоянии | y 1> , то на самом деле это уравнение для операторов

Это-то мы и хотели получить — математическую формулировку симметрии. Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы U ^ и Q ^ коммутируют. Тогда «симметрию» можно опреде­лить следующим образом: физическая система симметрична относительно операции Q ^, когда Q ^ коммутирует с U ^ (с опера­цией прошествия времени). [На языке матриц произведение двух операторов равнозначно матричному произведению, так что (15.10) в системе, симметричной относительно преобразова­ния Q ^, выполняется и для матриц Q ^ и U ^.]

Кстати, поскольку для бесконечно малого времени 8 мы имеем [7=1 — iH ^ e / h , где H ^ — обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)1, то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то вы­полнено и

Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора Q ^. Она определяет симметрию.

§ 2. Симметрия и ее сохранение

Прежде чем применять только что найденный результат, хотелось бы еще немного вникнуть в идею симметрии. Положим, что стечение обстоятельств таково, что после действия опера­тора Q ^ на состояние получается опять то же состояние. Это очень частный случай, но все же допустим, что так сложилось, что состояние |y'>=Q^|y 0>. физически совпадает с состоянием |y 0>. Это значит, что |y'> равняется |y 0>, если не считать не­которого фазового множителя. Как это себе представлять? Пусть, например, имеется ион H + 2в состоянии, которое мы когда-то обозначали | I >. У этого состояния имеется одинаковая ам­плитуда побывать в базисных состояниях | 1 > и | 2 >. Вероят­ности показаны столбиками на фиг. 15.3, а.

Фиг. 15.3. Состояние | I > и состояние P ^ | I >, получае­мые отражением | I > в плоскости, проходящей посреди­не между атомами в ионе Н 2 +.

Если мы на состояние | I > подействуем оператором отраже­ния Р ^ , он перевернет его, поменяв местами | 1 > с| 2 > , а | 2 > с| 1 >; полу­чатся вероятности, по­казанные на фиг. 15.3,б. Перед нами опять состояние | I >. Если начать с состояния | II >, то вероятности до и после отражения будут выглядеть тоже одинаково. Правда, если посмотреть на ампли­туды, то разница все же есть. У состояния | I > после отраже­ния амплитуды останутся теми же, у состояния | //) они приобретут противоположный знак. Иными словами,

Если написать , то у состояния | I > мы имеем е i d =1, а у состояния | II > имеем е i d =-1.

Возьмем другой пример. Пусть у нас есть правополяризованный по кругу фотон, распространяющийся в направлении z. Если мы совершим операцию поворота вокруг оси z, то, как мы знаем, это просто приведет к умножению амплитуды на e i j , где j — угол поворота. Значит, в этом случае для операции поворота 8 просто равно углу поворота.