Feynmann - Feynmann 9

Но это не все. Главное — что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законно вы­нести ее на семинар. Тема эта — классический аспект уравнения Шредингера, явление сверх­проводимости.

Обычно та волновая функция, которая появ­ляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, или векторного потенциала, или других подобных вещей. Правда, волновая функция отдельной частицы — это «поле» в том смысле, что она есть функция положения, но классического значения она, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действи­тельно имеет классическое значение, именно их я и хочу кос­нуться. Своеобразие квантовомеханического поведения веще­ства в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в круп­номасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой об­стоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях.

При низких температурах, когда энергия системы очень-очень сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состояний в игру включается только очень-очень малое количе­ство состояний — тех, которые расположены неподалеку от основного. При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопиче­ском уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабными эф­фектами — не обычное обсуждение пути, по которому кванто­вая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механи­кой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопических» размерах.

Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравне­ния Шредингера. Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле, потому что явле­ния сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внеш­нее магнитное поле описывается векторным потенциалом, и вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост.

Фиг. 19.1. Амплитуда перехода из а в b по пути r пропорциональна

Амплитуда того, что частица при наличии поля пе­рейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19.1), равна амплитуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на экспоненту от криволинейного интеграла от век­торного потенциала, умноженного в свою очередь на элект­рический заряд и деленного на постоянную Планка [см. гл. 15, § 2 (вып. 6)]:

Это исходное утверждение квантовой механики.

И вот в отсутствие векторного потенциала уравнение Шре­дингера для заряженной частицы (нерелятивистской, без спина) имеет вид

где j — электрический потенциал, так что q j — потен­циальная энергия. А уравнение (19.1) равнозначно утвержде­нию, что в магнитном поле градиенты в гамильтониане нужно

каждый раз заменять на градиент минус ( iq / h ) А, так что (19.2) пре­вращается в

Это и есть уравнение Шредингера для частицы с зарядом q (нерелятивистской, без спина), движущейся в электромагнитном поле А, j.

Чтобы стало ясно, что оно правильно, я хочу проиллюстриро­вать это простым примером, когда вместо непрерывного случая имеется линия атомов, расставленных на оси x на расстоянии b друг от друга, и существует амплитуда — К того, что электрон перепрыгнет в отсутствие поля от одного атома к другому. Тогда, согласно уравнению (19.1), если имеется вектор-потен­циал А x (х, t ) в x -направлении, то амплитуда перескока по сравнению с тем, что было раньше, изменится, ее придется домножить на exp[( iq / h ) A x b ] — экспоненту с показателем, равным произведению iq / h на векторный потенциал, проинтегрирован­ный от одного атома до другого. Для простоты мы будем писать ( q / h ) A x є f ( x ) , поскольку А х , вообще говоря, зависит от х. Если обозначить через С(х) є С n амплитуду того, что электрон обнаружится возле атома n , расположенного в точке х, то скорость изменения этой амплитуды будет даваться уравнением