Feynmann - Feynmann 7

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, е ху всегда равно е ух ) , то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тен­зоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — век­торы, то С ij =А i В j — тензор.) А каждое наше e ij есть про­изведение (или сумма таких произведений) компонент вектора

u= ( u х , u у , u z ) и оператора С=( д / д x, д / д y, д / д z), который, как

мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x 1 , x 2 и x 3, а вместо u х , u y и u г писать u 1, u 2и u 3 ; тогда общий вид элемента тензора e ij будет выглядеть так:

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e ij — постоянные, и мы можем написать

u х =е хх х+е ху y +е х z г . (39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где и равно нулю.) В этих случаях тензор деформации e ij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z ) и вектором перемещения u= ( u х , u у , u г ).

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

где w ij, — антисимметричный тензор

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симмет­ричным тензором е ij .

§ 2. Тензор упругости

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами — с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны дефор­мациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S ij как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая ком­понента S ij линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9X9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C ijkl определив посредством уравнения

где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты С ijkl связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор — на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все C ijkl известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций — тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравне­ния (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряже­ния и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче — это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна пере­мещению х, скажем F = kx , то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx 2 /2. Подобным же образом энергия w , запасенная в любой единице объема деформированного мате­риала, оказывается равной