Feynmann - Feynmann 6

также функция от (x - ct ):

Покажем, что f ( x - ct ) действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку f зависит лишь от одной переменной — переменной (x - ct ), то мы будем через f' обозначать производ­ную fпо этой переменной, а через f"— вторую производную.

Фиг. 20.4. Функция f ( x - ct ) представляет неизменный «кон тур», движущийся в направлении возрастания х со скоростью с.

Дифференцируя (20.21) по х, получаем

потому что производная от (x- ct ) no x равна единице. Вторая производная ш no x равна

(20.22)

А производные ш no t дают

(20.23)

Мы убеждаемся, что ш действительно удовлетворяет одномер­ному волновому уравнению.

Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением вол­нового уравнения является f ( x - ct )? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути отыскать ре­шение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать решение. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть реше­ние, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только; увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе f(x- ct )= ш в качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от x 2 dx у вас сразу всплывает ответ x 3/3.)

На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция от (x - ct ), но и функция от (х + с t ). Из-за того, что в волновом урав­нении с встречается только в виде с 2, изменение знака с ничего не меняет. И действительно, самое общее решение одномерного волнового уравнения — это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента (x - ct ), а другой от ( x + ct ):

(20.24)

Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волну, бегущую к отрицательным х. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

● ● ●

Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функ­цию ш в виде

ш=coskxcoskct.

Эта функция не имеет вида f(x- ct ) или g ( x + ct ). Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению. Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)?

● ● ●

Применяя эти выводы о решении волнового уравнения к y-компоненте электрического поля Е у , мы заключаем, что Е может меняться по х произвольным образом. Всякое поле, которое существует в самом деле, можно всегда рассматривать как сумму двух картин. Одна волна плывет через пространство в каком-то направлении со скоростью с, причем связанное с нею магнитное поле перпендикулярно к электрическому; другая волна бежит в противоположном направлении с той же скоростью. Такие волны отвечают хорошо нам известным элек­тромагнитным волнам — свету, радиоволнам, инфракрасному излучению, ультрафиолету, рентгеновским лучам и т. д. Мы уже изучали очень подробно излучение света. Так как все, чему мы тогда научились, применимо к любым электромагнит­ным волнам, то теперь нет нужды рассматривать подробно поведение этих волн.

Пожалуй, стоит лишь сделать несколько замечаний о поля­ризации электромагнитных волн. Раньше мы решили рассмот­реть частный случай электрического поля с одной только y-компонентой. Имеется, конечно, и другое решение для волн, бегущих в направлении + х или - х, т. е. решение, при котором электрическое поле обладает одной лишь z-компонентой. Так как уравнения Максвелла линейны, общее решение для одно­мерных волн, распространяющихся в направлении х, есть сумма волн Е y и волн Е z . Общее