Feynmann - Feynmann 6

решение суммируется следующими формулами:

(20.25)

У подобных электромагнитных волн направление вектора Е не неизменно: оно как-то произвольно смещается по спирали в плоскости yz . Но в каждой точке магнитное поле всегда пер­пендикулярно к электрическому и к направлению распростра­нения.

Если присутствуют только волны, бегущие в одном направ­лении (скажем, в положительном направлении х), то имеется простое правило, говорящее об относительной ориентации элек­трического и магнитного полей. Правило состоит в том, что век­торное произведение ЕXВ (которое, как известно, является вектором, поперечным и к Е, и к В) указывает направление, куда бежит волна. Если Е совмещать с В правым по­воротом, то вектор поворота показывает направление вектора скорости волны. (Позже мы увидим, что вектор ЕXВ имеет особый физический смысл: это вектор, описывающий течение энергии в электромагнитном поле.)

§ 2. Трехмерные волны

А теперь обратимся к трехмерным волнам. Мы уже знаем, что вектор Е удовлетворяет волновому уравнению. К тому же выводу легко прийти, отправляясь прямо от уравнений Мак­свелла. Предположим, что мы исходим из уравнения

и берем ротор от обеих частей:

(20.26)

Вы помните, что ротор от ротора любого вектора может быть записан в виде суммы двух членов, один из которых содержит дивергенцию, а другой — лапласиан:

Но в пустом пространстве дивергенция Е равна нулю, так что остается только член с лапласианом. Далее, из четвертого урав­нения Максвелла в пустом пространстве [см. (20.12)] производ­ная по времени от C 2(СXB) равна второй производной Е по t:

Тогда (20.26) обращается в

Это и есть трехмерное волновое уравнение. Расписанное во всей красе, оно выглядит так:

Как же нам найти общее решение этого уравнения? Ответ таков: все решения трехмерного волнового уравнения могут быть представлены в виде суперпозиции уже найденных нами одномерных решений. Мы получили уравнение для волн, бегущих в направлении х, предположив, что поле не зависит от у и z. Конечно, имеются и другие решения, в которых поля не зависят от x и z,— это волны, идущие в направлении у. Затем существуют решения, не зависящие от х и y; они представляют волны, движущиеся в направлении z . Или в общем случае, поскольку мы записали наши уравнения в векторной форме, трехмерное волновое уравнение может иметь решения, которые являются плоскими волнами, бегущими, вообще говоря, в лю­бом направлении. Кроме того, раз уравнения линейны, то одновременно может распространяться сколько угодно плос­ких волн, бегущих в каких угодно направлениях. Таким об­разом, самое общее решение трехмерного волнового уравнения является суперпозицией всех видов плоских волн, бегущих во всех возможных направлениях.

Попытайтесь представить себе, как выглядят сейчас элект­рические и магнитные поля в нашей аудитории. Прежде всего здесь имеется постоянное магнитное поле; оно возникло от токов внутри нашей Земли, от постоянного земного магнетизма. За­тем здесь имеются какие-то нерегулярные, почти статические электрические поля. Они скорей всего созданы электрическими зарядами, появляющимися из-за того, что кто-то ерзает на своем стуле или трется рукавами о стол (словом, в результате тре­ния). Кроме того, здесь есть еще и другие магнитные поля, вы­званные переменными токами в электропроводке,— поля, ко­торые меняются с частотой в 50 гц в такт с работой генератора на городской электростанции. Но еще больший интерес пред­ставляют электрические и магнитные поля, меняющиеся бы­стрее. К примеру, там, где свет падает из окна, освещая стены и пол, имеются небольшие колебания электрического и маг­нитного полей, перемещающиеся за секунду на 300 000 км. По комнате еще распространяются инфракрасные волны, иду­щие от ваших горячих голов к холодной доске с формулами. Да! Мы еще позабыли об ультрафиолетовом свете, о рентгеновских лучах и о радиоволнах, которые проносятся по комнате.