Feynmann - Feynmann 6

Вас удивит, если я скажу, что мы уже выводили это урав­нение раньше (с другой точки зрения), когда говорили о теории показателя преломления. Тогда нам нужно было представить себе, какие поля создаст слой колеблющихся диполей в тонком плоском диэлектрике, если диполи приводятся в движение элек­трическим полем падающей электромагнитной волны. Задача наша состояла в расчете комбинированного поля начальной волны и волн, излучаемых колеблющимися диполями. Как же мы смогли тогда рассчитать поля, создаваемые движущимися зарядами, не зная уравнений Максвелла? Мы тогда приняли в качестве исходной (без вывода) формулу для полей излуче­ния, создаваемых на больших расстояниях от ускоряемого то­чечного заряда. Если вы заглянете в гл. 31 (вып. 3), то увидите, что выражение (31.10) — это как раз наше выражение (20.3), которое мы только что написали. Хотя прежний наш вывод относился только к большим расстояниям от источника, теперь мы видим, что тот же результат верен и вблизи источника.

Сейчас мы хотим взглянуть в общем виде на поведение элек­трических и магнитных полей в пустом пространстве вдалеке от источников, т. е. от токов и зарядов. Очень близко от них (так близко, что источники за время запаздывания передачи не успевают сильно измениться) поля очень похожи на те, которые получились у нас в электростатике или магнитостати­ке. Но если перейти к таким большим расстояниям, что запаз­дывание станет заметным, то природа полей может радикально отличаться от тех решений, которые мы нашли. Когда поля значительно удаляются ото всех источников, они начинают в некотором смысле приобретать свой собственный характер. Так что мы вправе приступить к обсуждению поведения полей в области, где нет ни токов, ни зарядов.

Предположим, что нас интересует род полей, которые могут существовать в областях, где и r и j равны нулю. В гл. 18 мы видели, что физику уравнений Максвелла можно также выразить на языке дифференциальных уравнений для скаляр­ного и векторного потенциалов:

(20.4)

(20.5)

Если r и j равны нулю, то эти уравнения упрощаются:

(20.6)

(20.7)

Стало быть, в пустом пространстве и скалярный потенциал j, и каждая компонента векторного потенциала А удовлетворяют одному и тому же математическому уравнению. Пусть буквой y (пси) мы обозначили любую из четырех величин j, А х , А у , А г ; тогда нам нужно изучить общие решения уравнения

(20.8)

Его называют трехмерным волновым уравнением — трехмер­ным потому, что функция y может в общем случае зависеть от х, у и z и следует учитывать изменения по каждой из этих координат. Это становится ясным, если мы выпишем явно три члена оператора Лапласа:

(20.9)

В пустом пространстве электрические и магнитные поля Е и В тоже удовлетворяют волновому уравнению. Так, поскольку B=СXА, дифференциальное уравнение для В можно получить, взяв ротор от уравнения (20.7). Раз лапласиан — это скаляр­ный оператор, то порядок операций вычисления лапласиана и ротора можно переставлять:

Точно так же можно переставлять и вычисление rot и d / dt :

Из этого мы получаем следующее дифференциальное уравнение

для В:

(20.10)

Тем самым выясняется, что компонента магнитного поля В удовлетворяет трехмерному волновому уравнению. Подобно этому, из того факта, что Е=-Сj- dAJdt , следует, что электрическое поле Е в пустом пространстве удовлетворяет трех­мерному волновому уравнению