Feynmann - Feynmann 6

Не забудьте, что и п. э. и к. э.— обе функции времени. Для любого нового мыслимого пути это действие принимает свое определенное значение. Математическая задача состоит в том, чтобы определить, для какой кривой это число меньше, чем для других.

Вы скажете: «О, это просто обычный пример на максимум и минимум. Надо подсчитать действие, продифференцировать его и найти минимум».

Но погодите. Обычно у нас бывает функция какой-то пере­менной и нужно найти значение переменной, при котором функ­ция становится наименьшей или наибольшей. Скажем, имеется стержень, нагретый посредине. По нему растекается тепло и в каждой точке стержня устанавливается своя температура. Нужно найти точку, где она выше всего. Но у нас речь идет совсем об ином — каждому пути в пространстве отвечает свое число, и предполагается найти тот путь, для которого это число минимально. Это совсем другая область математики. Это не обычное исчисление, а вариационное (так его назы­вают).

В этой области математики имеется много своих задач. Скажем, окружность обычно определяют как геометрическое место точек, расстояния которых от данной точки одинаковы, но окружность можно определить и иначе: это та из кривых данной длины, которая ограничивает собою наибольшую пло­щадь. Любая другая кривая такого же периметра ограничивает площадь меньшую, чем окружность. Так что если поставить задачу: найти кривую данного периметра, ограничивающую наибольшую площадь, то перед нами будет задача из вариацион­ного исчисления, а не из того исчисления, к которому вы при­выкли.

Итак, мы хотим взять интеграл по пути, пройденному телом. Сделаем это так. Все дело в том, чтобы вообразить себе, что су­ществует истинный путь и что любая другая кривая, которую мы проведем,— не настоящий путь, так что если подсчитать

для нее действие, то получится число, превышающее то, кото­рое мы получим для действия, соответствующего настоя­щему пути.

Итак, задача: найти истин­ный путь. Где он пролегает? Один из способов, конечно, мог бы состоять в том, чтобы подсчитать действие для мил­лионов и миллионов путей и потом посмотреть, при каком пути это действие наименьшее. Вот тот путь, при котором действие минимально, и бу­дет настоящим.

Такой способ вполне возможен. Однако можно сделать проще. Если имеется величина, обладающая минимумом (из обычных функций, скажем, температура), то одно из свойств минимума состоит в том, что при удалении от него на расстояние первого порядка малости функция отклоняет­ся от минимального своего значения только на величину второго порядка. А в любом другом месте кривой сдвиг на малое расстояние изменяет значение функции тоже на величину первого порядка мало­сти. Но в минимуме легкие уходы в сторону в первом приближении не приводят к изменению функции.

Это-то свойство мы и со­бираемся использовать для расчета настоящего пути.

Если путь правильный, то кривая, чуть-чуть отличная от него, не приведет в первом приближении к изменению в вели­чине действия. Все изменения, если это был действительно минимум, возникнут только во втором приближении.

Это легко доказать. Если при каком-то отклонении от кри­вой возникают изменения в первом порядке, то эти изменения в действии пропорциональны отклонению. Они, по всей вероятности, увеличат действие; иначе это не был бы минимум. Но раз изменения пропорциональны отклонению, то перемена знака отклонения уменьшит действие. Выходит, что при отклонении и одну сторону действие возрастает, а при отклонении в обрат­ную сторону — убывает. Единственная возможность того, что­бы это действительно был минимум,— это чтобы в первом при­ближении никаких изменений не происходило и изменения были бы пропорциональны квадрату отклонения от настоящего пути.

Итак, мы пойдем по следующему пути: обозначим через x ( t ) (с чертой внизу) истинный путь — тот, который мы хотим найти. Возьмем некоторый пробный путь x ( t ), отличаю­щийся от искомого на неболь­шую величину, которую мы обозначим h(t).