Feynmann - Feynmann 6

При решении всех задач вариационного исчисления всегда пользуются одним и тем же общим принципом. Вы чуть сдви­гаете то, что хотите варьировать (подобно тому, как это сдела­ли мы, добавляя h), бросаете взгляд на члены первого порядка, затем расставляете все так, чтобы получился интеграл в таком виде: «сдвиг (h), умноженный на что получится», но чтобы в нем не было никаких производных от h (никаких d h / dt ). Не­пременно нужно так все преобразовать, чтобы осталось «нечто», умноженное на h . Сейчас вы поймете, отчего это так важно. (Существуют формулы, которые подскажут вам, как в некоторых случаях можно это проделать без каких-либо выкладок; но они не так уж общи, чтобы стоило заучивать их; лучше всего проделывать выкладки так, как это делаем мы.)

Как же я могу переделать член d h / dt , чтобы в нем появилось h? Я могу добиться этого, интегрируя по частям. Оказывается, что в вариационном исчислении весь фокус в том и состоит, чтобы расписать вариацию S и затем проинтегрировать по час­тям так, чтобы производные от h исчезли. Во всех задачах, в которых появляются производные, проделывается такой же фокус.

Припомните общий принцип интегрирования по частям. Если у вас есть произвольная функция f, умноженная на d h / dt и проинтегрированная по t , то вы расписываете производную от h f :

В интересующем вас интеграле стоит как раз последнее слага­емое, так что

В нашей формуле для dS за функцию f принимается произ­ведение т на dx / dt ; поэтому я получаю для d S выражение

В первый член должны быть подставлены пределы интегриро­вания t 1 и t 2. Тогда я получу под интегралом член от интегри­рования по частям и последний член, оставшийся при преоб­разовании неизменным.

А теперь происходит то, что бывает всегда,— проинтегри­рованная часть исчезает. (А если не исчезает, то нужно переформулировать принцип, добавив условия, обеспечивающие такое исчезновение!) Мы уже говорили, что hна концах пути должна быть равна нулю. Ведь в чем состоит наш принцип? В том, что действие минимально при условии, что варьируемая кривая начинается и кончается в избранных точках. Это зна­чит, что h(t 1)=0 и h(t 2)=0. Поэтому проинтегрированный член получается равным нулю. Мы собираем воедино остальные члены и пишем

Вариация S теперь приобрела такой вид, какой мы хотели ей придать: что-то стоит в скобках (обозначим его F ), и все это умножено на h(t) и проинтегрировано от t 1 до t 2 .

У нас вышло, что интеграл от какого-то выражения, умно­женного на h(t), всегда равен нулю:

Стоит какая-то функция от t ; умножаю ее на h(t) и интегрирую ее от начала до конца. И какова бы ни была h, я получаю нуль. Это означает, что функция F(t) равна нулю. В общем-то это очевидно, но я на всякий случай покажу вам один из способов доказательства.

Пусть в качестве h ( t ) я выберу нечто, что равно нулю всюду, при всех t , кроме одного, заранее выбранного значения t . Оно

остается нулем, пока я не

дойду до этого t ,

затем оно подскакивает на мгновение и сразу же оса­живает назад. Если вы берете интеграл от этой h , умно­женной на какую-то функ­цию F , то единственное место, в котором вы получите что-то ненулевое,— это там, где h ( t ) подскакивало; и у вас получится значение F в этом месте на интеграл по скачку. Сам по себе интеграл по скачку не равен нулю, но после умножения на F он должен дать нуль. Значит, функция в том месте, где был скачок, должна оказаться нулем. Но ведь скачок можно было сделать в любом месте; значит, F должна быть нулем всюду.