Feynmann - Feynmann 6a

Пользуясь ею, можно так записать любое уравнение физики, что обе его части преобразуются при вращениях одинаковым образом. Если одна его часть — вектор, то вектором должна быть и другая часть, и обе они при вращении системы коор­динат изменяются в точности одинаково. Аналогично, если одна часть скаляр, то скаляром должна быть и другая часть, так что ни та, ни другая не изменяется при вращении системы координат и т. д.

В теории относительности пространство и время неразде­лимо связаны друг с другом, поэтому то же самое придется про­делать и для четырех измерений. Мы хотим, чтобы наши уравне­ния оставались неизменными не только при вращениях, но и при переходе в любую инерциальную систему. Это означает, что наши уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (25.1). Цель настоящей главы — пока­зать, как этого можно добиться. Но прежде чем начать, примем соглашение, которое значительно облегчит нашу ра­боту (и к тому же поможет избежать путаницы). Заключается оно в таком выборе единиц измерения длины и времени, чтобы скорость света с оказалась равной единице. Вы можете считать, например, что в качестве единицы времени взят интервал, за который свет проходит отрезок в один метр (это составляет около 3·10 -9 сек). Можно даже так и назвать эту единицу вре­мени: «один световой метр». Использование этой единицы еще ярче оттеняет симметрию пространства и времени. Кроме того, из наших релятивистских уравнений исчезнут все с. (Если это почему-либо вас смущает, то вы можете в любом уравнении вос­становить их или заменить каждое t на ct , а еще лучше вставить с повсюду, где это необходимо для правильной размерности уравнения.) Теперь, после такой подготовки, мы можем дви­нуться дальше.

Наша программа состоит в том, чтобы повторить в четырех­мерном пространстве-времени все то, что мы делали с векто­рами в трех измерениях. Дело это нехитрое — мы просто будем действовать аналогично. Единственное затруднение встретится только при обозначениях (символ вектора у нас уже занят трех­мерными векторами), и несколько изменятся знаки в скалярном произведении.

Прежде всего, по аналогии с векторами в трехмерном про­странстве, введем четырехвектор как набор четырех величин a t , а х , а у и а z, которые при переходе в движущуюся систему коор­динат преобразуются подобно t , x , у и z. Для обозначения четырехвектора используется несколько различных способов. Мы же будем писать просто а m, понимая под этим группу четырех ве­личин ( a t , a x , a y , a z ); другими словами, значок m принимает ка­кое-либо из четырех «значений»: t , x , у и г. Иногда нам будет удобно обозначать три пространственные компоненты в виде трехмерного вектора, т. е. писать a m =( a t , а).

Мы уже сталкивались с одним таким четырехвектором, со­стоящим из энергии и импульса частицы (см. гл. 17, вып. 2). В наших новых обозначениях он запишется так:

p m =(Е, p ), (25.2)

т. е. четырехвектор p m состоит из энергии Е и трех компонент трехмерного импульса частицы р.

Похоже, что игра действительно оказывается нехитрой: единственное, что мы должны сделать,— это найти для каждого трехмерного вектора недостающую компоненту и получить четырехвектор. Однако все же эта задача потруднее, чем кажется на первый взгляд. Возьмем, например, вектор скорости с компонентами

Что будет его временной компонентой? Инстинкт подсказывает нам, что поскольку четырехвектор подобен t , x , у, z , то времен­ной компонентой как будто должно быть

Но это неверно. Дело в том, что время t в каждом знаменателе не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Числитель имеет правильное поведение, a dt в знаменателе портит все дело: оно не одинаково в двух различных системах.

Оказывается, что четыре компоненты «скорости», которые нам нужно выписать, превратятся в компоненты четырехвектора, если мы попросту поделим их на Ц ( 1- v 2 ). В правильности этого можно убедиться, взяв