Feynmann - Feynmann 6a

Наши результаты можно использовать для того, чтобы под­считать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты оз. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что про­изойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчи­тали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его В 1, а (23.5) перепишем в виде

(23.9)

Вспомните, что это поле появилось от изменения Е 1. А правиль­ное магнитное поле будет создаваться изменением суммарного электрического поля Е 1+Е 2. Если магнитное поле представить в виде В=В 1+В 2 , то второе слагаемое — это просто добавочное поле, создаваемое полем Е г .Чтобы узнать В 2, надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчиты­вали В 1: контурный интеграл от B 2вдоль кривой Г 1равен ско­рости изменения потока Е 2через Г 1. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В 2, а Е — на E 2:

Поскольку Е 2 с радиусом меняется, то для получения его пото­ка надо интегрировать по круговой поверхности внутри Г 1. Беря в качестве элемента площади 2 p rdr , напишем этот интеграл в виде

Значит, В 2 ( r ) выразится так:

(23.10)

Подставляя сюда Е 2 ( r ) из (23.7), получаем интеграл от r 3 dr , который равен, очевидно, r 4 /4. Наша поправка к магнитному полю окажется равной

(23.11)

Но мы еще не кончили! Раз магнитное поле В вовсе не такое, как мы сперва думали, то мы, значит, неверно подсчитывали Е 2. Надо найти еще поправку к Е, вызываемую добавочным магнит­ным полем В 2. Эту добавочную поправку к электрическому по­лю назовем Е 3. Она связана с магнитным полем В 2так же, как E 2была связана с В 1. Можно опять прибегнуть к тому же самому соотношению (23.6), изменив в нем только индексы:

(23.12)

Подставляя сюда наш новый результат (23.11), получаем новую поправку к электрическому полю:

(23.13)

Если теперь наше дважды исправленное поле записать в виде Е=Е 1 + Е 2 + Е 3 , то мы получим

(23.14)

Изменение электрического поля с радиусом происходит уже не по параболе, как было на фиг. 23.5; на больших радиусах значе­ние поля лежит чуть выше кривой (E 1+E 2).

Мы пока еще не дошли до конца. Новое электрическое поле вызовет новую поправку к магнитному полю, а заново под­правленное магнитное поле вызовет необходимость дальнейшей поправки к электрическому и т. д. и т. д. Но у нас уже есть все нужные формулы. Для В 3 можно использовать (23.10), изменив индексы при В и Е с 2 до 3.

Очередная поправка к электрическому полю равна

С этой степенью точности все электрическое поле дается, стало быть, формулой

где численные коэффициенты написаны в таком виде, что стано­вится ясно, как продолжить ряд.

Окончательно получается, что электрическое поле между обкладками конденсатора на любой частоте дается произведением E 0e i w tна бесконечный ряд, который содержит только перемен­ную wr/с. Можно, если мы захотим, определить специальную функцию, обозначив ее через J 0(x), как бесконечный ряд в скоб­ках формулы (23.15):