Feynmann - Feynmann 4a

или

Пусть читатель сам докажет, что коэффициенты b 7, например, находятся с помощью умножения (50.2) на sin 7 w t и усреднения обеих частей. Результат таков:

Но то, что верно для 7, очевидно, верно и для любого дру­гого целого числа. Теперь мы запишем результат нашего дока­зательства в следующей, более элегантной математической форме. Если m и n — целые отличные от нуля числа и если w=2p/T, то

В предыдущих главах для описания простого гармониче­ского движения было удобно пользоваться экспоненциальной функцией. Вместо coswt мы использовали Re ехр(iwt) —дей­ствительную часть экспоненциальной функции. В этой главе мы использовали синус и косинус, потому что с ними, пожа­луй, немного проще проводить доказательства. Однако наш окончательный результат, уравнение (50.13), можно записать в более компактной форме:

где а n — комплексное число а n - ib n (с b 0=0). Если мы всюду будем пользоваться одним и тем же обозначением, то должны также написать

Итак, теперь мы умеем раскладывать периодическую волну на ее гармонические компоненты. Эта процедура называется разложением в ряд Фурье, а отдельные члены называются фурье-компонентами. Однако до сих пор мы не показали, что, определив все фурье-компоненты и затем сложив их, мы дейст­вительно придем назад к нашей функции f ( t ). Математики до­казали, что для широкого класса функций (в сущности, для всех функций, интересных физикам), которые можно проин­тегрировать, мы снова получаем f(t). Но есть одно небольшое исключение. Если функция f ( t ) разрывна, т. е. если она неожи­данно прыгает от одного значения к другому, сумма Фурье такой функции даст в точке разрыва значение, лежащее посре­дине между верхним и нижним значениями. Таким образом, если у нас есть странная функция f ( t )=0 для 0≤ t < t 0 и f(t)=1 для t 0 ≤ t ≤ T , то ее сумма Фурье всюду даст нам правильную величину, за исключением точки t 0 , где вместо единицы полу­чится 1 / 2 . Во всяком случае, физически даже нельзя требовать, чтобы функция была всюду нулем вплоть до точки t 0 , а в самой точке t 0 вдруг стала равной единице. Может быть, стоило бы спе­циально для физиков издать такой «указ», что любая разрывная функция (которая может быть только упрощением настоящей физической функции) в точке разрыва должна принимать сред­нее значение. Тогда любая такая функция, с любым конечным числом «ступенек», как и все другие интересные для физики функции, будет правильно описываться рядом Фурье.

В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фиг. 50.3.

Фиг. 50.3. Ступенчатая фун­кция. f ( t )=+1 для 0< t < T /2 ,

f ( t )=-1 для T /2< t < T .

Поскольку эту функцию нельзя записать в точной алгебраической форме, то брать интеграл от 0 до Т обычным способом невозможно. Однако если разделить его на две части: по интервалу от 0 до T/2 [на котором функция f(t)=1] и по интервалу от T/2 до T [на ко­тором f ( t ) - 1], то интеграл легко берется. В результате должно получиться

где w=2p/T. Таким образом, оказывается, что для нашей сту­пенчатой волны (со специально выбранной фазой) будут только нечетные гармоники, причем их амплитуды обратно пропор­циональны частотам.

Давайте проверим, что для некоторого значения t результат (50.19) действительно дает снова f ( t ). Возьмем f = T/4или wt=p/2. Тогда