Feynmann - Feynmann 4a

Итак, мы установили правила благозвучия через совпадение гармоник. Может быть, это совпадение и является причи­ной благозвучия? Кто-то утверждал, что два абсолютно чистых тона, т. е. тщательно очищенных от высших гармоник, не дают ощущения благозвучия или неблагозвучия (диссонанса), когда их частоты равны или приблизительно равны ожидаемому от­ношению. (Это очень сложный эксперимент, поскольку приго­товить чистые тоны очень трудно по причинам, которые мы увидим дальше.) Мы не можем с уверенностью сказать, срав­нивает ли ухо гармоники или занимается арифметикой, когда мы решаем, что звук нам нравится.

§ 4. Коэффициенты Фурье

Вернемся теперь к утверждению о том, что каждую ноту, т. е. любое периодическое колебание, можно представить в виде надлежащей комбинации гармоник. Хотелось бы знать, как можно найти нужную долю каждой гармоники. Конечно, если нам даны все коэффициенты а и b , то, пользуясь формулой (50.2), легко подсчитать функцию f(t). Теперь же вопрос со­стоит в том, как можно найти коэффициенты при различных гармониках, если нам задана функция f(t)? (Нетрудно испечь пирог, если есть рецепт, но как, отведав пирог, написать его рецепт?)

Фурье открыл, что на самом деле сделать это не очень труд­но. Член а 0 уж наверняка нетрудно найти. Мы говорили, что он равен среднему значению f ( f ) на протяжении одного периода (от t=0 до t = T ). Легко увидеть, что это действительно так. Среднее значение синуса или косинуса на протяжении одного периода равно нулю. На протяжении двух, или трех, или дру­гого целого числа периодов оно тоже равно нулю. Таким обра­зом, среднее значение всех членов с правой стороны (50.2), за исключением только а 0, равно нулю. (Напомним, что мы должны выбрать w=2p/T.)

Далее, поскольку среднее значение суммы равно сумме сред­них, то среднее значение функции f ( t ) равно просто среднему от а 0. Но ведь а 0— просто постоянная, и ее среднее значение равно ей самой. Вспоминая определение среднего, мы полу­чаем

Найти остальные коэффициенты ненамного труднее. Чтобы сде­лать это, используем один фокус, открытый самим Фурье. Предположим, что мы умножили обе стороны уравнения (50.2) на какую-то гармоническую функцию, скажем на cos 7 w t . При этом получается

А теперь усредним обе стороны равенства. Среднее от члена a 0cos7wt по периоду Т пропорционально среднему от косинуса по семи его периодам. Но последнее просто равно нулю. Среднее почти всех остальных членов тоже будет равно нулю. Действи­тельно, давайте рассмотрим член с а 1 . Мы знаем, что в общем случае

cos A cos В = 1/ 2cos (А +B)+ 1/ 2cos (А - В), (50.5)

так что член с а 1 равен

a 1(cos8wt+cos6wt). (50.6)

Таким образом получаются два косинуса: один с восемью пол­ными периодами, а другой с шестью. Оба они равны нулю. Поэтому среднее значение этого члена тоже равно нулю.

Для члена с а 2мы получаем cos9wt и cos5wt, каждый из которых при усреднении превратится в нуль. Для члена с а 9 получится соз16wt и cos(- 2 w t ). Но cos(-2wt) — это то же са­мое, что cos2wt, так что опять оба члена дадут при усреднении нуль. Ясно, что все слагаемые с косинусами, за исключением одного, дадут при усреднении нуль. Этим единственным сла­гаемым будет член с а 7 . Для него же мы получим

1/ 2a 7(cos14wt+cos0). (50.7)

Косинус нуля равен единице, а среднее от него, разумеется, тоже равно единице. Итак, мы получили, что среднее от всех членов с косинусами уравнения (50.4) равно 1/ 2а 7 .

Еще легче расправиться с синусами. Когда мы умножаем их накосинус типа cos n w t , то таким же методом можно показать, что все они при усреднении обращаются в нуль.

Мы видим, что способ, придуманный Фурье, действует как своеобразное сито. Когда мы умножаем на cos7wt и усредняем, то все члены, кроме а 7, отсеиваются и в результате остается