Feynmann - Feynmann 4

Часто нам придется искать ответ на такой вопрос: Какова вероятность того, что молекула испытает столкновение в те­чение малого промежутка времени dt ? Мы догадываемся, что эта вероятность равна dt / t . Попытаемся, однако, привести более убедительные аргументы. Предположим, что в нашем распоряжении имеется очень большое число N молекул. Сколько молекул из этого числа столкнется в течение интервала вре­мени dt ? Если молекулы находятся в равновесном состоянии, то ничего не будет меняться в среднем со временем. Таким образом, N молекул, пробывших в ящике в течение интервала dt , испытают столько же соударений, сколько одна моле­кула за время Ndt . Число соударений одной молекулы за большое время Ndt известно — это Ndt / t . А если число соударений между N молекулами за время dt равно Ndtl t , то вероятность удара для одной молекулы равна 1/ N части этой величины, или (1/ N )( Ndt / t )= dt / t (как мы и говорили с самого начала). Таким образом, относительное число молекул, сталкивающихся за время dt , грубо говоря, равно dt / t . Если, например, t равно одной минуте, то за секунду столкнется 1/ 60часть всех молекул.

Это означает, конечно, что если в данный момент 1/ 60часть молекул подошла достаточно близко к тем, с кем они должны столкнуться, то их столкновение произойдет в течение сле­дующей минуты.

Когда мы говорим, что t (среднее время между столкнове­ниями) равно одной минуте, то мы вовсе не считаем, что все столкновения разделены в точности минутными интервалами. Частица, столкнувшись, совсем не выжидает потом еще минуту, чтобы нанести следующий удар. Промежутки между последо­вательными столкновениями весьма различны. В дальнейшем, правда, нам это не понадобится, но можно задать такой во­прос: А чему все же равно время между столкновениями? Мы уже знаем, что в приведенном выше примере среднее время равно одной минуте, но нам, быть может, нужно знать, какова вероятность того, что молекула не столкнется ни с кем в течение двух минут?

Ответим на более общий вопрос: Какова вероятность того, что молекула не испытает ни одного столкновения за время t? Начнем в какой-то произвольный момент времени, который мы назовем t=0, следить за определенной молекулой. Какова вероятность того, что до момента встречи ее с другой молекулой пройдет время t ? Чтобы вычислить вероятность, посмотрим, что случится со всеми N 0 молекулами, находящимися в ящике. Пока мы ждем в течение времени t , некоторые молекулы ис­пытают столкновения. Пусть N ( t ) — число молекул, не испы­тавших столкновений за время t . Мы можем определить N ( t ), ибо нам известно, как это число меняется со временем. Это число N ( t ), естественно, меньше общего числа молекул N 0 . Если мы знаем, что за время t избежать столкновений удалось N ( t ) молекулам, то N ( t + dt ) (число молекул, которым удалось сделать это за время t + dt ) меньше N ( t ) на число молекул, все-таки столкнувшихся за время dt . Мы уже раньше научи­лись определять число молекул, которым не удалось избежать столкновений за время dt , с помощью среднего времени т: dN = N ( t ) dt / t . Мы получаем уравнение

N ( t + dt )= N ( t )- N ( t ) dt / t . (43.2)

Величину, стоящую в левой части уравнения, N ( t + dt ), можно в согласии с общими правилами дифференциального исчис­ления записать в виде N ( t )+( dN / dt )( dt ). Сделав эту подстановку, мы приведем уравнение (43.2) к виду

Число молекул, выбывших из игры за промежуток dt , пропор­ционально числу наличных молекул и обратно пропорционально среднему времени жизни t. Уравнение (43.3) легко проинтег­рировать, если переписать его в виде