Feynmann - Feynmann 4

§ 5. Удельные теплоемкости газов

Посмотрим теперь, как можно проверить теорию и оценить, насколько хороша классическая теория газов. Мы уже гово­рили, что если U — внутренняя энергия N молекул, то фор­мула pV = NkT =(g-1) U иногда и для некоторых газов может оказаться правильной. Мы знаем, что для одноатомного газа правая часть равна 2/ 3кинетической энергии движения цен­тров масс атомов. В случае одноатомного газа кинетическая энергия равна внутренней энергии, поэтому g-1 == 2/з.

Но предположим, что мы столкнулись с более сложной молекулой, которая может вращаться и колебаться, и пред­положим (в классической механике это так), что энергии внут­ренних движений также пропорциональны kT . Поэтому при заданной температуре молекула, кроме кинетической энергии kT , имеет внутреннюю энергию колебания и вращения. Тогда полная энергия U включает не только кинетическую энергию, но и вра­щательную энергию и мы получаем другие значения у. Наилуч­ший способ измерения g — это измерение удельной теплоемкости, характеризующей изменение энергии при изменении темпера­туры. К этому способу мы еще вернемся, а пока предполо­жим, что нам удалось экспериментально определить g с по­мощью кривой PV g , соответствующей адиабатическому сжатию.

Попробуем вычислить g для ряда частных случаев. Прежде всего для одноатомных газов полная энергия U есть не что иное, как кинетическая энергия, и в этом случае, как мы уже знаем, g равно 5/ 3. В качестве примера двухатомных газов рассмотрим кислород, водород, пары иода и т. д. и предположим, что двух­атомный газ можно представить как собрание пар атомов, меж­ду которыми действуют силы, похожие на те, что изображены на фиг. 40.3. Можно также предположить, и оказывается, что это вполне законно, что при температурах; обычных для диатомных газов, пары атомов стремятся удалиться друг от друга на расстояние r 0(расстояние минимума потенциальной энергии). Если бы это было не так, и вероятность не очень сильно за­висела от удаления от равновесной конфигурации, то мы обна­ружили бы, что кислород есть смесь сравнимых количеств O 2и одиночных атомов кислорода. А мы знаем, что в кислороде при­сутствует очень мало одиночных атомов кислорода, а это озна­чает, что глубина потенциальной ямы значительно больше kT , и это как раз мы и предполагали. Но раз атомы, составляющие молекулу, прочно закреплены на расстоянии r 0, то нам понадо­бится лишь часть потенциальной кривой вблизи минимума, которую в этом случае можно приближенно заменить параболой. Параболический потенциал соответствует гармоническому ос­циллятору, и, в самом деле, отличной моделью молекулы кисло­рода могут служить два соединенных пружинкой атома.

Но чему же равна полная энергия молекулы при температу­ре Т? Мы знаем, что кинетическая энергия каждого из атомов равна 3/ 2 kT , так что кинетическая энергия обоих атомов равна 3 / 2 kT + 3 / 2 kT . Можно распределить эту энергию иначе: тогда те же самые 3/ 2плюс 3/ 2будут выглядеть как кинетическая энергия центра масс ( 3/ 2), кинетическая энергия вращения ( 2/ 2) и кинетическая энергия колебаний ( 1/ 2). Известно, что на долю кинетической энергии колебаний приходится 1/ 2, потому что это одномерное движение, а каждой степени свободы соответствует l / 2 kT . Обращаясь к вращениям, мы можем вы­делить две оси вращения, что соответствует двум независимым движениям. Мы представляем себе атомы в виде точек, которые не могут вращаться вокруг соединяющей их линии. Но на всякий случай запомним о таком предположении, потому что если мы упремся где-то в тупик, то, может быть, здесь обна­ружится корень зла. Нас должен интересовать еще и другой вопрос: чему равна потенциальная энергия колебаний, вели­ка ли она? Средняя потенциальная энергия гармонического осциллятора равна средней кинетической энергии, т.е. также l / 2 kT . Полная энергия молекулы U = 7 / 2 kT , или kT = 2 / 7 U на атом. Это означает, что g равно 9/ 7, а не 5/ 3, т. е. g=1,286. Можно сравнить эти числа с действительно измеренными значениями g , приведенными в табл. 40.1. Взгляните сначала на гелий; это одноатомный газ, и значение g очень близко к 5/ 3; отклонение от этого значения, вероятно, есть просто след­ствие экспериментальных неточностей, хотя при столь низких температурах между атомами могут появиться силы взаимодей­ствия. Криптон и аргон — еще два одноатомных газа — также дают согласующиеся значения в пределах ошибки эксперимента.