Feynmann - Feynmann 1

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая произ­водная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a = dv / dt . Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.

Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движе­нии в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Эта глава началась с об­суждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положе­ние частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каж­дое из которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две коорди­наты заданы как функции времени. (Обобщение на трех­мерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты г. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координат­ных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направ­лению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая ско­рости, или x-компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.

v x=dx/dt (8.11)

а вертикальная составляющая, или y-компонента, равна

v y=dy/dt (8.12)

В случае трех измерений необходимо еще добавить

v z=dz/dt. (8.13)

Как, зная компоненты скорости, определить полную ско­рость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных корот­ким интервалом времени Dt = t 2-t 1 и расстоянием Ds. Из фиг. 8.3 видно, что

(Значок » соответствует выражению «приблизительно равно».)

Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.

Средняя скорость в течение интервала Dt получается простым делением: Ds/Dt. Чтобы найти точную скорость в момент t , нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить Dt к нулю. В результате оказывается, что

В трехмерном случае точно таким же способом можно полу­чить

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения а х определяется как производная от x-компоненты скорости v x (т. е. a x = d 2 x / dt 2 — вторая производ­ная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешан­ного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизон­тальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g . Что это за движение? Так как v x = dxldt = u и, следовательно, скорость v x постоянна, то

x = ut , (8.17)

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно - g , то координата у падающего шара дается формулой

y = - 1 / 2 gt 2 . (8.18)

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t = x / u , после чего находим