Feynmann - Feynmann 1

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. вы­ражающаяся через комбинацию известных нам функций, диф­ференцируется очень просто — вся операция выполняется чис­то алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каж­дого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В та­ких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими ин­тервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.

§ 5. Ускорение

Следующий шаг на пути к уравнениям движения — это вве­дение величины, которая связана с изменением скорости дви­жения. Естественно спросить: а как изменяется скорость дви­жения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 90 км/час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v =9,8 t (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1 сек. Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изме­нения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно под­готовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записы­вается в виде производной от расстояния. Если теперь продиф­ференцировать формулу v=9,8 t , то получим ускорение падаю­щего тела

a=dv/dt=9,8. (8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался ре­зультат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту по­стоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела по­стоянно возрастает на 9,8 м/сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным толь­ко потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорциональ­но силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:

s = At 3 + Bt + C .

Для скорости v — ds / dt мы получили формулу

v =3 At 2 + B .

Так как ускорение — это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференци­ровать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5t 2, причем в результате коэффициент удваивался, a t 2 превращалось в t . Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от ЗAt 2будет равна 6 А t . Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной бу­дет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение ника­кого вклада. Окончательный результат: a = dv / dt =6 At .

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g , то его скорость v в любой момент времени t будет равна

v = gt ,

а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

s = 1 / 2 gt 2 .

Заметим еще, что поскольку скорость — это ds / dt , а ускоре­ние — производная скорости по времени, то можно написать