Feynmann - Feynmann 1

Но теперь мы, кажется, находимся на правильном пути, ко­торый приводит нас вот к чему. Если бы машина продолжала двигаться таким же образом следующую тысячную долю часа, то она прошла бы тысячную долю 90 км. Другими словами, нет никакой необходимости ехать целый час с той же быстротой, достаточно какого-то момента. Это означает, что за какой-то момент времени машина проходит такое же расстояние, как я идущая с постоянной скоростью 90 км / час. Наши рассуждении о 25 м/сек, возможно, и правильные; мы отмечаем, сколько ма­шина прошла в следующую секунду, и если получается расстоя­ние 25 м, то это означает, что скорость достигает 90 км/час.

Другими словами, можно определить скорость следующим об­разом. Определяем расстояние, которое было пройдено за очень малый отрезок времени, и, разделив его на этот отрезок времени, получаем скорость. Однако этот отрезок должен быть как мож­но меньше, и чем меньше, тем лучше, потому что в этот период могут произойти снова изменения. Смешно, например, для па­дающего тела в качестве такого отрезка принять час. Принять в качестве отрезка секунду, может быть, удобно для автомобиля, так как за секунду его скорость изменяется не слишком силь­но, но этот отрезок велик для падающего тела. Таким образом, чтобы вычислить скорость более точно, нужно брать все меньшие и меньшие интервалы времени. Если на миллионную долю се­кунды мы разделим расстояние, которое было пройдено в течение этого времени, то получим расстояние в секунду, т.е. как раз то, что мы понимаем под скоростью. Именно это нужно было сказать нашей нарушительнице, т. е. дать то определение; скорости, которое мы и будем использовать.

Такое определение содержит некую новую идею, которая была недоступна грекам в ее общей форме.

Она заключается в том, чтобы малые расстояния разделить на соответствующие малые отрезки времени и посмотреть, что произойдет с частным, если отрезок времени брать все меньше и меньше (иными словами, брать предел отношения пройденно­го расстояния к интервалу времени при неограниченном уменьшении последнего). Впервые эта идея была высказана незави­симо Ньютоном и Лейбницем и явилась основой новой области математики — дифференциального исчисления. Оно возникло в связи с описанием движения, и первым его приложением был ответ на вопрос: «Что означает 90 км/час ? »

Попытаемся теперь точнее определить скорость. Пусть за некоторое малое время e машина или какое-то другое тело про­шли малое расстояние х; тогда скорость v определяется как

v=x/e,

причем точность будет тем больше, чем меньше e. Математики записывают это следующим образом:

(8.3)

т. е. скорость есть предел отношения х/ e при e, стремящемся к нулю. Для нашей машины-нарушительницы невозможно точно вычислить скорость, так как таблица неполная. Ее положение известно нам только через интервалы 1 мин. Приближенно, конечно, можно сказать, что в течение седьмой минуты, например, она шла со средней скоростью 90 км/час, однако о ее ско­рости в конце шестой минуты ничего сказать невозможно. Мо­жет быть, она ускорялась и скорость с 40 км/час в начале шестой минуты возросла до 90 км/час в конце ее, а может быть, она дви­галась иначе. Мы не знаем этого точно, так как у нас нет деталь­ной записи ее движения между шестой и седьмой минутами. Только когда таблица будет пополнена бесконечным числом данных, из нее можно будет действительно вычислить скорость. Если, однако, нам известна полная математическая формула, как, например, в случае падающего тела [уравнение (8.1)], то можно подсчитать скорость. Ведь по формуле можно найти положение тела в любой момент времени.

В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ — это по­смотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой се­кунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, каза­лось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в сред­нем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но в дейст­вительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы опре­делить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05 м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где-то по­средине. Наша задача вычислить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек, Полное расстояние, пройденное за это время, составляет