Feynmann - Feynmann 1

s=5·5,001 2= 5·25,010001=125,050005 м.

Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t 0 (например, 5 сек). Расстояние, которое прой­дено к моменту t 0(назовем его s 0), будет 5t 2 0 (в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t 0 + (небольшой добавок), или t 0+e? Новое положение тела будет 5(t 0+e) 2=5t 2 0+10t 0e+5e 2. (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t 0 сек, т. в. больше 5t 2 0.) Назовем это расстояние s 0+ (не­большой добавок), или s 0+x. Если теперь вычесть из него рас­стояние, пройденное к моменту t 0 , то получим х — то дополни­тельное расстояние, которое шарик прошел за добавочное вре­мя e, т. е. x=10t 0e+5e 2. Так что в первом приближении ско­рость будет равна

v=x/e=10t 0+5e. (8.4)

Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить ско­рость точно в момент t 0 : нужно брать отрезок e все меньше и меньше, т. е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравне­ния (8.4) получим

v (в момент t 0)=10t 0,

В нашей задаче t 0=5 сек, следовательно, скорость равна v =10·5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда e бралось равным 0,1 и 0,001 сек, получалась несколько большая величина, чем 50 м/сек, но теперь мы видим, что в действитель­ности она в точности равна 50 м/сек.

§ 3. Скорость как производная

Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин e и x: было придумано специальное обозначение: e обозначается как Dt, а х — как Ds. Величина Dt означает «небольшой добавок к t », причем подразумевается, что этот добавок можно делать мень­ше. Значок D ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sin q не означает s·i·n·q. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок D напоми­нает нам о его особом характере. Ну, а если D не множитель, то его нельзя сократить в отношении Ds/Dt. Это все равно, что в выражении sinq/sin2q сократить все буквы и получить 1/ 2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Ds/Dt при Dt, стремящемся к нулю, т. е.

(8.5)

Это по существу формула (8.3), но теперь яснее видно, что здесь все изменяется, а, кроме того, она напоминает, какие именно ве­личины изменяются.

Существует еще один закон, который выполняется с хоро­шей точностью. Он гласит: изменение расстояния равно скоро­сти, умноженной на интервал времени, за которое это изменение произошло, т. е. Ds=vDt. Это правило строго справедливо толь­ко тогда, когда скорость не изменяется в течение интервала Dt, а это, вообще говоря, происходит, только когда Dt доста­точно мало. В таких случаях обычно пишут ds = vdt , где под dt подразумевают интервал времени Dt при условии, что он сколь угодно мал. Если интервал Dt достаточно велик, то скорость за это время может измениться и выражение Ds = vDt будет уже приближенным. Однако если мы пишем dt , то при этом подра­зумевается, что интервал времени неограниченно мал и в этом смысле выражение ds= vdt точное. В новых обозначениях вы­ражение (8.5) имеет вид

Величина ds / dt называется «производной s no t » (такое название напоминает о том, что изменяется), а сложный про­цесс нахождения производной называется, кроме того, диффе­ренцированием. Если же ds и dt появляются отдельно, а не в виде отношения ds / dt , то они носят названия дифференциалов. Чтобы получше познакомить вас с новой терминологией, скажу еще, что в предыдущем параграфе мы нашли производную от функции 5 t 2 , или просто производную от 5 t 2 . Она оказалась равной 10 t . Когда вы больше привыкнете к новым словам, вам станет более понятна сама мысль. Для тренировки давайте най­дем производную более сложной функции. Рассмотрим выра­жение s = At 3 + Bt + C , которое может описывать движение точ­ки. Буквы А, В, С, так же как и в обычном квадратном уравне­нии, обозначают постоянные числа. Нам нужно найти скорость движения, описываемого этой формулой в любой момент времени t . Рассмотрим для этого момент t+Dt, причем к s прибавится некоторая добавка Ds, и найдем, как выражается Ds через Dt. Поскольку