Unknown - haskell-notes

функции двух аргументов получим функцию высшего порядка C → BA , а затем с помощью функции eval

получим значение, то это всё равно, что подставить два значения в исходную функцию. Запись ( curry ( f ) , id )

означает параллельное применение двух стрелок внутри пары:

( f, g ) : A × A → B × B ,

f : A → B, g : A → B

Так применив стрелки curry ( f ) : C → BA и id : A → A к паре C × A , мы получим пару BA × A .

Применение здесь условное мы подразумеваем применение в функциональной аналогии, в теории категорий

происходит связывание пар объектов с помощью стрелки ( f, g ).

Интересно, что и экспоненту можно получить как конечный объект в специальной категории. Пусть есть

категория A и в ней определено произведение объектов A и B . Построим категорию, в которой объектами

являются стрелки вида:

C × A → B

где C – это произвольный объект исходной категории. Стрелкой между объектами c : C × A → B и

d : D × A → B в этой категории будет стрелка f : C → D из исходной категории, такая, что следующая

диаграмма коммутирует:

C

C × A

f

c

( f, id )

D

D × A

B

Если в этой категории существует конечный объект, то он является экспонентой. А функция curry явля-

ется анаморфизмом для экспоненты.

238 | Глава 15: Теория категорий

15.9 Краткое содержание

Теория категорий изучает понятия через то как эти понятия взаимодействуют друг с другом. Мы забываем

о том, как эти понятия реализованы, а смотрим лишь на свойства связей.

Мы узнали что такое категория. Категория это структура с объектами и стрелками. Стрелки связывают

объекты. Причём связи могут соединятся. Также считается, что объект всегда связан сам с собой. Мы узнали,

что есть такие категории, в которых сами категории являются объектами, а стрелки в таких категориях мы

назвали функторами. Также мы узнали, что сами функторы могут стать объектами в некоторой категории,

тогда стрелки в этой категории мы будем называть естественными преобразованиями.

Мы узнали что такое начальный и конечный объект и как с помощью этих понятий можно определить

сумму и произведение типов. Также мы узнали как в теории категорий описываются функции высших по-

рядков.

15.10 Упражнения

• Проверьте аксиомы категории (ассоциативность и тождество) для категории функторов и категории

естественных преобразований.

• Изоморфизмом называют такие стрелки f : A → B и g : B → A , для которых выполнено свойство:

f ; g = idA

g ; f = idB

Объекты A и B называют изоморфными, если они связаны изоморфизмом, это обозначают так: A ∼

= B .

Докажите, что все начальные и конечные элементы изоморфны.

• Поскольку сумма и произведение типов являются начальным и конечным объектами в специальных

категориях для них также выполняются свойства тождества, уникальности и слияния. Выпишите эти

свойства для суммы и произведения.

• Подумайте как можно определить экземпляр класса Comonadдля потоков:

data Streama =a :& Streama

Можно ли придумать экземпляр для класса Monad?

• Дуальную категорию для категории A обозначают Aop . Если F является функтором в категории Aop ,

то в исходной категории его называют контравариантным функтором. Выпишите определение функто-

ра в Aop , а затем с помощью дуализации получите свойства контравариантного функтора в исходной

категории A .

Краткое содержание | 239

Глава 16

Категориальные типы

В этой главе мы узнаем как в теории категорий определяются типы. В теории категорий типы определяют-

ся как начальные и конечные объекты в специальных категориях, которые называются алгебрами функторов.

Для понимания этой главы хорошо освежить в памяти главу о структурной рекурсии, там где мы говорили

о свёртках и развёртках.

16.1 Программирование в стиле оригами

Оригами – состоит из двух слов “свёртка” и “бумага”. При программировании в стиле оригами все функ-

ции строятся через функции свёртки и развёртки. Есть даже такие языки программрования, в которых это

единственный способ определения рекурсии. Этот стиль очень хорошо подходит для ленивых языков про-