Unknown - haskell-notes

двух специальных конструкторов:

inl : A → A + B

inr : B → A + B

Сумма и произведение | 235

Также нам хочется уметь как-то извлекать значения. По смыслу внутри суммы A + B хранится либо объект

A либо объект B и мы не можем заранее знать какой из них, поскольку внутреннее содержание A + B от

нас скрыто, но мы знаем, что это только A или B . Это говорит о том, что если у нас есть две стрелки A → C

и B → C , то мы как-то можем построить A + B → C . У нас есть операция:

out ( f, g ) : A + B → C

f : A → C, g : B → C

При этом для того, чтобы стрелки inl , inr и out были согласованы необходимо, чтобы выполнялись

свойства:

inl ; out ( f, g ) = f

inr ; out ( f, g ) = g

Для любых функций f и g . Графически это свойство можно изобразить так:

A

inl

A + B

inr

B

out

f

g

C

Итак суммой двух объектов A и B называется объект A + B и две стрелки inl : A → A + B и inr : B →

A + B такие, что для любых двух стрелок f : A → C и g : B → C определена одна и только одна стрелка

h : A + B → C такая, что выполнены свойства:

inl ; h = f

inr ; h = g

В этом определении объект A + B вместе со стрелками inl и inr , определяет функцию, которая по

некоторому объекту C и двум стрелкам f и g строит стрелку h , которая ведёт из объекта A + B в объект

C . Этот процесс определения стрелки по объекту напоминает определение начального элемента. Построим

специальную категорию, в которой объект A + B будет начальным. Тогда функция out будет катаморфизмом.

Функция out принимает две стрелки и возвращает третью. Посмотрим на типы:

f : A → C

inl : A → A + B

g : B → C

inr : B → A + B

Каждая из пар стрелок в столбцах указывают на один и тот же объект, а начинаются они из двух разных

объектов A и B . Определим категорию, в которой объектами являются пары стрелок ( a 1 , a 2), которые на-

чинаются из объектов A и B и заканчиваются в некотором общем объекте D . Эту категорию ещё называют

клином. Стрелками в этой категории будут такие стрелки f : ( d 1 , d 2) → ( e 1 , e 2), что стрелки в следующей

диаграмме коммутируют (не важно по какому пути идти из двух разных точек).

A

B

d

e

1

2

e 1

d 2

D

E

f

Композиция стрелок – это обычная композиция в исходной категории, в которой определены объекты A

и B , а тождественная стрелка для каждого объекта, это тождественная стрелка для того объекта, в котором

сходятся обе стрелки. Можно проверить, что это действительно категория.

Если в этой категории есть начальный объект, то мы будем называть его суммой объектов A и B . Две

стрелки, которые содержит этот объект мы будем называть inl и inr , а общий объект в котором эти стрелки

сходятся будем называть A + B . Теперь если мы выпишем определение для начального объекта, но вме-

сто произвольных стрелок и объектов подставим наш конкретный случай, то мы получим как раз исходное

определение суммы.

Начальный объект ( inl : A → A + B, inr : B → A + B ) ставит в соответствие любому объекту

( f : A → C, g : B → C ) стрелку h : A + B → C такую, что выполняются свойства:

236 | Глава 15: Теория категорий

A

inl

A + B

inr

B

h

f

g

C

А как на счёт произведения? Оказывается, что произведение является дуальным понятием по отношению

к сумме. Его иногда называют косуммой, или сумму называют копроизведением. Дуализируем категорию,

которую мы строили для суммы.

У нас есть категория A и в ней выделено два объекта A и B . Объектами новой категории будут пары

стрелок ( a 1 , a 2), которые начинаются в общем объекте C а заканчиваются в объектах A и B . Стрелками в

этой категории будут стрелки исходной категории h : ( e 1 , e 2) → ( d 1 , d 2) такие что следующая диаграмма

коммутирует:

A