Unknown - haskell-notes

этот путь в категории A и в самом конце переместимся в F B или мы сначала переместимся в F A и затем

пройдём по образу пути в категории F B . Так и так мы попадём в одно и то же место. Схематически это

можно изобразить так:

f

g

A

B

C

F

F

F

F A

F B

F C

F f

F g

Стрелки сверху находятся в категории A , а стрелки снизу находятся в категории B . Функтор F : A → A ,

который переводит категорию A в себя называют эндофунктором (endofunctor). Функторы отображают одни

категории в другие сохраняя структуру первой категории. Мы словно говорим, что внутри второй категории

есть структура подобная первой. Интересно, что последовательное применение функторов, также является

функтором. Мы будем писать последовательное применение функторов F и G слитно, как F G . Также можно

определить и тождественный функтор, который ничего не делает с категорией, мы будем обозначать его как

IA или просто I , если категория на которой он определён понятна из контекста. Это говорит о том, что мы

можем построить категорию, в которой объектами будут другие категории, а стрелками будут функторы.

15.3 Естественное преобразование

В программировании часто приходится переводить данные из одной структуры в другую. Каждая из

структур хранит какие-то конкретные значения, но мы ничего с ними не делаем мы просто перекладываем

содержимое из одного ящика в другой. Например в нашем ящике только один отсек, но вдруг нам пришло

бесконечно много подарков, что поделать нам приходится сохранить первый попавшийся, отбросив осталь-

ные. Главное в этой аналогии это то, что мы ничего не меняем, а лишь перекладываем содержимое из одной

структуры в другую.

В Haskell это можно описать так:

onlyOne ::[a] -> Maybea

onlyOne []

= Nothing

onlyOne (a :as)

= Justa

В этой функции мы перекладываем элементы из списка [a] в частично определённое значение Maybe.

Тоже самое происходит и в функции concat:

230 | Глава 15: Теория категорий

concat ::[[a]] ->[a]

Элементы перекладываются из списка списков в один список. В теории категорий этот процесс называ-

ется естественным преобразованием. Структуры определяются функторами. Поэтому в определении будет

участвовать два функтора. В функции onlyOne это были функторы []и Maybe. При перекладывании элемен-

тов мы можем просто выбросить все элементы:

burnThemALl ::[a] ->()

burnThemAll =const ()

Можно сказать, что единичный тип также определяет функтор. Это константный функтор, он переводит

любой тип в единственное значение (), а функцию в id:

data Emptya = Empty

instance Functor Empty where

fmap =const id

Тогда тип функции burnThemAll будет параметризован и слева и справа от стрелки:

burnThemAll ::[a] -> Emptya

burnThemAll =const Empty

Пусть даны две категории A и B и два функтора F, G : A → B . Преобразованием (transformation) в B из

F в G называют семейство стрелок ε :

εA : F A →B GA

для любого A из A

Рассмотрим преобразование onlyOne ::[a] -> Maybea. Категории A и B в данном случае совпадают~–

это категория Hask. Функтор F – это список, а функтор G это Maybe. Преобразование onlyOne для каждого

объекта a из Haskопределяет стрелку

onlyOne ::[a] -> Maybea

Так мы получаем семейство стрелок, параметризованное объектом из Hask:

onlyOne ::[ Int] -> Maybe Int

onlyOne ::[ Char] -> Maybe Char

onlyOne ::[ Int -> Int] -> Maybe( Int -> Int)

...

...

Теперь давайте определим, что значит перекладывать из одной структуры в другую, не меняя содержа-

ния. Представим, что функтор – это контейнер. Мы можем менять его содержание с помощью метода fmap.

Например мы можем прибавить единицу ко всем элементам списка xs с помощью выражения fmap ( +1) xs.

Точно так же мы можем прибавить единицу к частично определённому значению. С точки зрения теории ка-

тегорий суть понятия “останется неизменным при перекладывании” заключается в том, что если мы возьмём

любую функцию к примеру прибавление единицы, то нам неважно когда её применять до функции onlyOne