Unknown - haskell-notes

могут соединять несколько разных объектов. Например в Haskell есть классы, поэтому функции с одними

и теми же именами могут соединять разные объекты. Если все условия категории для объектов и стрелок

выполнены, кроме этого, то такую систему называют прекатегорией (pre-category). Из любой прекатегории

не сложно сделать категорию, если включить имена объектов в имя стрелки. Тогда у каждой стрелки будут

только одна пара объектов, которые она соединяет.

15.2 Функтор

Вспомним определение класса Functor:

class Functorf where

fmap ::(a ->b) ->(f a ->f b)

В этом определении участвуют тип f и метод fmap. Можно сказать, что тип f переводит произвольные

типы a в специальные типы f a. В этом смысле тип f является функцией, которая определена на типах. Метод

fmap переводит функции общего типа a ->b в специальные функции f a ->f b.

При этом должны выполняться свойства:

fmap id

=id

fmap (f .g) =fmap f .fmap g

Теперь вспомним о категории Hask. В этой категории объектами являются типы, а стрелками функции.

Функтор f отображает объекты и стрелки категории Haskв объекты и стрелки f Hask. При этом оказывается,

что за счёт свойств функтора f Haskобразует категорию.

• Объекты – это типы f a.

• Стрелки – это функции fmap f.

• Композиция стрелок это просто композиция функций.

• Тождественная стрелка это fmap id.

Проверим аксиомы:

fmap f .fmap id =fmap f .id =fmap f

fmap id .fmap f =id .fmap f =fmap f

fmap f .(fmap g .fmap h)

=

fmap f .fmap (g .h)

=

fmap (f .(g .h))

=

fmap ((f .g) .h)

=

fmap (f .g) .fmap h

=

(fmap f .fmap g) .fmap h

Функтор | 229

Видно, что аксиомы выполнены, так функтор f порождает категорию f Hask. Интересно, что поскольку

Haskсодержит все типы, то она содержит и типы f Hask. Получается, что мы построили категорию внутри

категории. Это можно пояснить на примере списков. Тип []погружает любой тип в список, а функцию для

любого типа можно превратить в функцию, которая работает на списках с помощью метода fmap. При этом с

помощью класса Functorмы проецируем все типы и все функции в мир списков [a]. Но сам этот мир списков

содержится в категории Hask.

С помощью функторов мы строим внутри одной категории другую категорию, при этом внутренняя ка-

тегория обладает некоторой структурой. Так если раньше у нас были только произвольные типы a и произ-

вольные функции a ->b, то теперь все объекты имеют тип [a] и все функции имеют тип [a] ->[b]. Также и

функтор Maybeпереводит произвольное значение, в значение, которое обладает определённой структурой. В

нём выделен дополнительный элемент Nothing, который обозначает отсутствие значения. Если по типу val

::a мы ничего не можем сказать о содержании значения val, то по типу val :: Maybea, мы знаем один

уровень конструкторов. Например мы уже можем проводить сопоставление с образцом.

Теперь давайте вернёмся к теории категорий и дадим формальное определение понятия. Пусть A и B –

категории, тогда функтором из A в B называют отображение F , которое переводит объекты A в объекты B

и стрелки A в стрелки B , так что выполнены следующие свойства:

F f

:

F A →B F B если f : A →A B

F idA

=

idF A

для любого объекта A из A

F ( f ; g )

=

F f ; F g

если ( f ; g ) подходят по типам

Здесь запись →A и →B означает, что эти стрелки в разных категориях. После отображения стрелки f

из категории A мы получаем стрелку в категории B , это и отражено в типе F f : F A →B F B . Первое

свойство говорит о том, что после отображения стрелки соединяют те же объекты, что и до отображения.

Второе свойства говорит о сохранении тождественных стрелок. А последнее свойство, говорит о том, что

“пути” между объектами также сохраняются. Если мы находимся в категории A в объекте A и перед нами

есть путь состоящий из нескольких стрелок в объект B , то неважно как мы пойдём в F B либо мы пройдём