Unknown - haskell-notes

хотим определить. Теперь у нас нет бесконечного набора коэффициентов, у нас всего лишь одно число и ещё

один ряд. Операции существенно упрощаются. Так сложение двух бесконечных рядов имеет вид:

F + G = ( f + xF 1) + ( g + xG 1) = ( f + g ) + x ( F 1 + G 1)

Переведём на Haskell:

(f :+:fs) +(g :+:gs) =(f +g) :+:(fs +gs)

Умножение

Умножим два ряда:

F ∗ G = ( f + xF 1) ∗ ( g + xG 1) = f g + x ( f G 1 + F 1 ∗ G )

Переведём:

( .*) :: Numa =>a -> Psa -> Psa

k .*(f :+:fs) =(k *f) :+:(k .*fs)

(f :+:fs) *(g :+:gs) =(f *g) :+:(f .*gs +fs *(g :+:gs))

Дополнительная операция ( .*) выполняет умножение всех коэффициентов ряда на число.

Класс Num

Соберём определения для методов класса Numвместе:

instance Numa => Num( Psa) where

(f :+:fs) +(g :+:gs) =(f +g) :+:(fs +gs)

(f :+:fs) *(g :+:gs) =(f *g) :+:(f .*gs +fs *(g :+:gs))

negate (f :+:fs) =negate f :+:negate fs

fromInteger n =p0 (fromInteger n)

( .*) :: Numa =>a -> Psa -> Psa

k .*(f :+:fs) =(k *f) :+:(k .*fs)

Методы abs и signum не определены для рядов. Обратите внимание на то, как рекурсивное определение

рядов приводит к рекурсивным определениям функций для рядов. Этот приём очень характерен для Haskell.

Поскольку наш ряд это число и ещё один ряд за счёт рекурсии мы можем воспользоваться операцией, которую

мы определяем, на “хвостовом” ряде.

Деление

Результат деления Q удовлетворяет соотношению:

F = Q ∗ G

Переписав F , G и Q в нашем представлении, получим

f + xF 1 = ( q + xQ 1) ∗ G = qG + xQ 1 ∗ G = q ( g + xG 1) + xQ 1 ∗ G

= qg + x ( qG 1 + Q 1 ∗ G )

Следовательно

q

= f / g

Q 1 = ( F 1 − qG 1)/ G

Если g = 0 деление имеет смысл только в том случае, если и f = 0. Переведём на Haskell:

184 | Глава 11: Ленивые чудеса

class Fractionala => Fractional( Psa) where

(0 :+:fs) /(0 :+:gs) =fs /gs

(f :+:fs) /(g :+:gs) =q :+:((fs -q .*gs) /(g :+:gs))

whereq =f /g

fromRational x =p0 (fromRational x)

Производная и интеграл

Производная одного члена ряда вычисляется так:

d xn = nxn− 1

dx

Из этого выражения по свойствам производной

d

d

d

( f ( x ) + g ( x )) =

f ( x ) +

g ( x )

dx

dx

dx

d ( k ∗ f ( x )) = k ∗ d f ( x )

dx

dx

мы можем получить формулу для всего ряда:

d F ( x ) = f 1 + 2 f 2 x + 3 f 3 x 2 + 4 f 4 x 3 + ...

dx

Для реализации нам понадобится вспомогательная функция, которая будет обновлять значение допол-

нительного множителя n в выражении nxn− 1:

diff :: Numa => Psa -> Psa

diff (f :+:fs) =diff’ 1 fs

wherediff’ n (g :+:gs) =(n *g) :+:(diff’ (n +1) gs)

Также мы можем вычислить и интеграл степенного ряда:

int :: Fractionala => Psa -> Psa

int (f :+:fs) =0 :+:(int’ 1 fs)

whereint’ n (g :+:gs) =(g /n) :+:(int’ (n +1) gs)

Элементарные функции

Мы можем выразить элементарные функции через операции взятия производной и интегрирования. К

примеру уравнение для ex выглядит так:

dy = y

dx

Проинтегрируем с начальным условием y (0) = 1:

∫ x

y ( x ) = 1 +

y ( t ) dt

0

Теперь переведём на Haskell:

expx =1 +int expx

Кажется невероятным, но это и есть определение экспоненты. Так же мы можем определить и функции

для синуса и косинуса:

d sin x = cos x,

sin(0) = 0 ,

dx

d cos x = − sin x, cos(0) = 1