Unknown - haskell-notes

расти вдвое. Как только решение перестанет меняться мы вернём ответ.

Построим последовательность решений:

integrate :: Fractionala =>(a ->a) ->a ->a ->[a]

integrate f a b =easyintegrate f a b :

zipWith ( +) (integrate a mid) (integrate mid b)

wheremid =(a +b) /2

Первое решение является площадью под прямой, которая соединяет концы отрезка. Потом мы делим от-

резок пополам, строим последовательность приближений и складываем частичные суммы с помощью функ-

ции zipWith.

Эта версия функции хоть и наглядная, но не эффективная. Функция f вычисляется заново при каждом ре-

курсивном вызове. Было бы хорошо вычислять её только для новых значений. Для этого мы будем передавать

значения с предыдущего шага:

integrate :: Fractionala =>(a ->a) ->a ->a ->[a]

integrate f a b =integ f a b (f a) (f b)

whereinteg f a b fa fb =(fa +fb) *(b -a) /2 :

zipWith ( +) (integ f a m fa fm)

(integ f m b fm fb)

wherem

=(a +b) /2

fm =f m

182 | Глава 11: Ленивые чудеса

В этой версии мы вычисляем значения в функции f лишь один раз для каждой точки. Запишем итоговое

решение:

int ::( Orda, Fractionala) =>a ->(a ->a) ->a ->a ->a

int eps f a b =converge eps $integrate f a b

Мы опять воспользовались функцией converge, нам не нужно было её переписывать. Проверим решение.

Для проверки также воспользуемся экспонентой. В прошлой главе мы узнали, что

∫ x

ex = 1 +

etdt

0

Посмотрим, так ли это для нашего алгоритма:

*Numeric> letexp’ =int 1e-5 exp 0

*Numeric> lettest x =abs $exp x -1 -

exp’ x

*Numeric>test 2

8.124102876649886e-6

*Numeric>test 5

4.576306736225888e-6

*Numeric>test 10

1.0683757864171639e-5

Алгоритм работает. В статье ещё рассмотрены методы повышения точности этих алгоритмов. Что инте-

ресно для улучшения точности не надо менять существующий код. Функция принимает последовательность

промежуточных решений и преобразует её.

11.2 Степенные ряды

Напишем модуль для вычисления степенных рядов. Этот пример взят из статьи Дугласа МакИлроя

(Douglas McIlroy) “Power Series, Power Serious”. Степенной ряд представляет собой функцию, которая опре-

деляется списком коэффициентов:

F ( x ) = f 0 + f 1 x + f 2 x 2 + f 3 x 3 + f 4 x 4 + ...

Степенной ряд содержит бесконечное число слагаемых. Для вычисления нам потребуются функции сло-

жения и умножения. Ряд F ( x ) можно записать и по-другому:

F ( x ) = F 0( x )

= f 0 + xF 1( x )

= f 0 + x ( f 1 + xF 2( x ))

Это определение очень похоже на определение списка. Ряд есть коэффициент f 0 и другой ряд F 1( x )

умноженный на x. Поэтому для представления рядов мы выберем конструкцию похожую на список:

data Psa =a :+: Psa

deriving( Show, Eq)

Но в нашем случае списки бесконечны, поэтому у нас лишь один конструктор. Далее мы будем писать

просто f + xF 1, без скобок для аргумента.

Определим вспомогательные функции для создания рядов:

p0 :: Numa =>a -> Psa

p0 x =x :+:p0 0

ps :: Numa =>[a] -> Psa

ps []

=p0 0

ps (a :as) =a :+:ps as

Обратите внимание на то, как мы дописываем бесконечный хвост нулей в конец ряда. Теперь давайте

определим функцию вычисления ряда. Мы будем вычислять лишь конечное число степеней.

eval :: Numa => Int -> Psa ->a ->a

eval 0 _

_ =0

eval n (a :+:p) x =a +x *eval (n -1) p x

В первом случае мы хотим вычислить ноль степеней ряда, поэтому мы возвращаем ноль, а во втором

случае значение ряда a + xP складывается из числа a и значения ряда P умноженного на заданное значение.

Степенные ряды | 183

Арифметика рядов

В результате сложения и умножения рядов также получается ряд. Также мы можем создать ряд из числа.

Эти операции говорят о том, что мы можем сделать степенной ряд экземпляром класса Num.

Сложение

Рекурсивное представление ряда f + xF позволяет нам очень кратко выражать операции, которые мы