Льюис Кэрролл - Льюис Кэрролл - Досуги математические и не только (ЛП)

От английского слова remainder ‘остаток’.

Датой первого дня григорианского календаря в странах, которые ввели у себя новый календарный стиль раньше других (Италия, Испания, Португалия, Польша и Франция) стало 15 октября 1582 года (для прочих стран см. Климишин И. А. Календарь и хронология. М., «Наука», 1990, с, 455, либо Куликов С. С. Нить времён: малая энциклопедия календаря с заметками на полях газет. М., «Наука», 1991, с. 133).

Что получение календарной даты такого «загадочно»-подвижного праздника, как Пасха, путём изложенных в вышеперечисленных пунктах простых выкладок не есть фокус и не содержит ничего надуманного, можно видеть уже из цитированного отрывка книги Роуза Болла, словесно излагающего исходные формулы Гаусса. Например, Роуз Болл тоже начинается с предварительного нахождения остатков от деления нужного года на 4, на 7 и на 19. Читатель получит вполне наглядное видение всей задачи, «стоит только» (как указывает и сам Уильям Роуз Болл в предисловии к первой, арифметической, главе своей книги) «перевести все операции на строгий математический язык». Проделаем же здесь эту процедуру: приведём формулы Гаусса к Доджсонову виду. Но сначала ещё раз разъясним их физический смысл. Как постановил в 325-м году Никейский собор, первый день Пасхи (его дата и обозначается через P ) должен совпадать с воскресеньем, непосредственно следующим за днём пасхального полнолуния, а в качестве последнего следует принимать то, которое наступает либо 21 марта (день весеннего равноденствия в год собора), либо непосредственно после него; иными словами, P = V + D , где V — это дата пасхального полнолуния, равная 21 + d (т. е. d есть промежуток между 21 марта и пасхальным полнолунием), D — это количество дней, через которое после пасхального полнолуния наступает Пасха, то есть разность между датами воскресенья S , наступающего после 25 февраля, и пасхального полнолуния V ; так как это количество не менее 1 и не более 7, следует записать: D = |( S – V )/7|, или, поскольку остаток 0 может быть замещён 7, D = |( S – V + 6)/7| + 1. Далее, S = 2 a + 4 b + n – 6, в каковом выражении буквы a , b , n означают то же, что у Роуза Болла (и см. ниже). Подставив выражения для S и V в формулу для D , получим D = |(2 a + 4 b + n – 6)/7| + 1, или D = e + 1.

Итак, число P , на которое приходится Пасха, определяется следующими выражениями:

P = 22 + ( d + e ) марта (1)

или, если P превысит 31,

P = ( d + e ) – 9 апреля. (2)

Входящие в эти формулы величины таковы: d = |(19 c + m )/30|, e = |(2 a + 4 b – d + n )/7|.

Таковы формулы Гаусса (за опущенными подробностями мы отсылаем читателя к статье базельского профессора Г. Кинкелина 1870-го года, тогда же перепечатанной по-русски в «Математическом сборнике Московского математического общества», т. V, с. 73—92 — перевёл и дополнил Н. Сонин; доказательство формул Гаусса просто и вместе с тем строго впервые было дано именно в этой статье). Здесь a в обозначениях Роуза Болла — это 4-Rem данного года у Доджсона; b и c соответствуют, аналогично, 7-Rem и 19-Rem. У Доджсона тоже есть величина a (из таблицы); чтобы не путать её с болловой (то есть, с 4-Rem), обозначим её здесь как a c (кэрроллова).

Рассмотрим выражение, раскрывающее величину d ; добавив в числитель сократимые величин, кратные 30, получим

d = |(19 c + m )/30| = |(19 c – 30 c + m – 30)/30| = | – (11 c + a c )/30| = ∆,

где ∆ есть тот дефект числа 11 c + a c от наибольшего кратного 30, содержащего в себе это число, о котором Доджсон говорит в пункте 3) параграфа 3 своей работы. (В самом деле, этот дефект есть величина 30 w – 11 с – a c , где w — некоторое число, выбираемое таким образом, чтобы значение всего выражения по модулю было меньше 30; это и приводит нас к вышеуказанному виду для ∆.) Отметив, кроме того, что n из таблицы в книге Роуза Болла соответствует h из Доджсоновой таблицы, запишем:

e = |(2 a + 4 b + h – ∆)/7|.

Подставляя преобразованные таким образом величины d и e в формулу (1), получаем:

P = 22 + d + e = 22 + ∆ + |(2 a + 4 b + h – ∆)/7|.

Отметив также, что |(2 a + 4 b + h )/7| есть Доджсоново k , и разложив ∆ на сумму наибольшего кратного 7, содержащегося в ∆, и остатка от деления на 7, запишем: