Льюис Кэрролл - Льюис Кэрролл - Досуги математические и не только (ЛП)

Статья появилась в «Nature» (т. 57 от 20 января 1898 г., с. 269—271) спустя неделю после смерти автора, последовавшей 14 января. Она является предпоследней работой, отданной Доджсоном в печать.

Очевидно, поскольку это начальная буква слова ten ‘десять’.

Далее текст до конца этого абзаца и следующий за ним абзац появляются только в составе «Curiosa Mаthematica, часть III»; в статье, отданной в печать, они отсутствовали. Очевидно, автор счёл желательным описать «ход рассуждения» подробнее, чем это было сделано в статье. Мы, со своей стороны, кое-где в примечаниях добавили ещё уточнений.

Аналогично текст с этого места и до конца абзаца.

Опубликовано в «Knowledge», т. VI, 15 (от 4 июля 1884 г.) в качестве ответа на письмо некоего Эскью, опубликованного там же 30 мая.

Опубликовано в «Nature», т. 35, 517 (от 31 марта 1887 года). Данная статья — единственная из трёх, появившихся в данном издании, что была подписана «Льюис Кэрролл».

См., однако, примечание [18].

Таким образом, данный Способ есть приноровление к нашей способности вычислять в уме общей формулы для нахождения дня недели Д, которую можно записать в виде (см., например, Куликов С. Нить времён: Малая энциклопедия календаря. М., «Наука». С. 177—182):

Д = |(Г + М + Ч)/7|

(прямые скобки обозначают остаток от деления нацело). Здесь Г = | (J + {J/4})/7| есть годовой член, известный с VIII века как конкурента, или солнечная эпакта (на Руси — вруцелетная буква); его и составляет сумма (опять же по модулю семь) Доджсоновых члена «сотни» и члена «годы»; М — это месячный член из Доджсоновой таблицы, аналогичный старинной, из похожей таблицы, величине, называемой солнечный регуляр, а Ч — заданное число месяца. Выражение в фигурных скобках обозначает целую часть от деления.

Работа Доджсона по упрощению расчётов в уме дня недели для любой даты в следующем веке была интенсивно продолжена. На Западе дальнейшая попытка упрощения вызвала к жизни так называемое «правило Судного дня» Джона Хортона Конвея (статья «Завтра — новый день после Судного дня» в журнале «Eureka», октябрь 1973 года, затем два издания (второе — 1982 год в четырёх томах) книги «Winning Waysfor Your Mathematical Plays» с соавторами). Приведём краткое описание этого Правила. Оно заключается в предварительном нахождении двух величин, а именно:

1) Судный день года. Это порядковый номер дня недели, на который приходится в данном году 28 или 29 февраля. Известно, что в 1900 году последний день февраля был средой. Тогда, поскольку 365 = 1 mod 7, то каждый обычный год прибавляет 1 к Судному дню, а каждый високосный прибавляет 2 дня. Следовательно, Судный день для года 1900 + Y есть день 1900 + Y + {Y/4}. Высчитаем Судный день 1929 года (то есть, на какой день недели приходится в этом году 28 февраля): 1900 + 29 + {29/4} = 3 + 29 + 7 = 39 = 4 mod 7, т. е. четверг.

2) Судный день месяца. Правила Конвея тут таковы: а) для января — это 31/32-е числа, а для февраля — 28/29-е соответственно для простого и високосного годов; б) для чётных месяцев вроде апреля и июня число Судного дня равно порядковому номеру этого месяца; в) для «длинных» нечётных месяцев (т. е. для месяцев, у которых тридцать один день) число Судного дня есть порядковый номер месяца плюс 4; г) и для «коротких» нечётных месяцев (по тридцати дней) число Судного дня есть порядковый номер месяца минус 4. Таким образом, Конвей принимает Доджсонову таблицу:

3) Вычисление. Оно заключается в суммировании номера дня недели Судного дня года и взятой по модулю 7 разницы между числом Судного дня месяца и заданным числом. Найдём, например, на какой день недели приходится 7 декабря 1941 года: а) число Судного дня для декабря — двенадцатое, поэтому разница составит 7 – 12 = – 5 дней, или 2 mod 7; б) Судный день 1941 года есть день 3 + 41 + 10 = 54 = 5 mod 7. Поэтому 7 декабря 1941 года будет воскресеньем (2 + 5 = 7 → 0).

Для ускорения расчётов — чтобы не искать в уме, чему равны большие двузначные числа по модулю семь — Конвей предлагает некоторые хитрости, опять же подсказанные Доджсоном. Известно, например, что каждые двенадцать (дюжину) лет Судный день года сдвигается вперёд на один день, поскольку 12 + {12/4} = 12 + 3 = 15 = 1 mod 7. Поэтому если нам нужен 1941 год, замечаем, что 41 = 3 12 + 5, а {5/4} = 1, поэтому Судный день 1941 года есть день 3 + 3 + 5 + 1 = 12, откуда легко видеть, что это есть 5 mod 7.