Miguel Fuentes - Dinámica científica y medidas de complejidad

La teoría de juegos, o la teoría de los dilemas sociales, se centra en cómo un grupo de elementos interactúan usando toma de decisiones estratégicas. A pesar de que la historia de la teoría de juegos puede remontarse a principios de 1700, la versión moderna de ella aparece después de la obra de John von Neumann, en 1928 [Von Neumann y Morgenstern, 2007]. Varios trabajos siguen los esfuerzos de Von Neumann, por ejemplo, se puede mencionar el importante trabajo realizado por Nash en 1950, que introdujo la idea de Equilibrio (de Nash), esto es una consistencia mutua de estrategias. Un ejemplo interesante de una rama de esta disciplina es la teoría de la evolución, que se centra en la dinámica de cambios de estrategia. En este contexto, los juegos se llaman juegos evolutivos.

En la configuración clásica de teoría de juegos, los jugadores tienen opciones de elección, y el juego puede ser en una sola ronda o en rondas repetitivas. Desde el punto de vista formal, las reglas o las elecciones que los jugadores pueden tener en el curso del juego son generalmente dispuestas en árboles de decisión o matrices, de esta forma se facilita enormemente su análisis analítico.

Veremos un ejemplo muy simple para mostrar cómo funciona la teoría. Discutiremos el ejemplo bien conocido en teoría de juegos denominado “El dilema del prisionero”. Dos jugadores son socios en un crimen y, después de ser capturados por sospecha de su actuar, son confinados en diferentes celdas. La policía les ofrece la oportunidad de confesar el crimen. Podemos entonces representar a los jugadores en una matriz de dos por dos con las diferentes compensaciones de las cuatro opciones posibles dependiendo de las confesiones criminales:

i) El prisionero A permanece en silencio, el prisionero B permanece en silencio: cada uno recibe una condena de un año.

ii) El prisionero A permanece en silencio, el prisionero B traiciona: el prisionero A resulta con tres años de cárcel, mientras que el B es liberado.

iii) El prisionero A traiciona y el B permanece en silencio: el prisionero A es liberado y el prisionero B: tres años de condena.

iv) El prisionero A traiciona, el prisionero B traiciona: cada uno es condenado a dos años.

El mejor resultado posible para ambos prisioneros es no confesar. Si solo uno confiesa, gana mucha utilidad, mientras que el otro pierde. La otra alternativa es la confesión de los dos prisioneros. ¿Cuál sería entonces el resultado final más probable en este escenario?

Como puede adivinar el lector, la teoría de juegos se puede aplicar también en redes complejas, teniendo en cuenta la topología donde interactúa el individuo: la red social. Hay muchos tipos de juegos, entre los que podemos mencionar: cooperativo, no cooperativo; juegos discretos y continuos; simultáneo, secuencial; juegos evolutivos; de información perfecta o imperfecta; de muchos jugadores, juegos de población, etc.

Es importante notar que en todas las situaciones, para el caso particular del comportamiento racional, los jugadores (que pueden ser una persona, una empresa, etc.) deben calcular qué hacer, teniendo en cuenta lo que el otro agente inferirá de la otras acciones [Camerer, 2003]. Los resultados a nivel macroscópico de la aplicación de estrategias en sistemas de muchos agentes pueden ser considerados un fenómeno emergente [Risjord, 2014].

Claude Shannon desarrolló una teoría para encontrar los límites del procesamiento de señales; su trabajo “Una teoría matemática de la comunicación” fue publicado en el Bell System Technical Journal en julio y octubre de 1948. Este es el hito inicial de lo que ahora se llama Teoría de la Información [Shannon, 1948]. Desde la obra de Shannon, la Teoría de la Información ha sido aplicada con éxito a diferentes campos (genética molecular, criptografía, inferencia estadística, física, biología y al análisis de datos). En sistemas complejos, la Teoría de la Información se ha utilizado además en relación con una teoría que fue desarrollada por E. T. Jaynes. En una serie de documentos de alrededor de 1952, este investigador discutió la correspondencia entre la mecánica estadística y la Teoría de la Información [Rosenkrantz, 1983].

Este gigantesco paso nos dice que la mecánica estadística (y todas las aplicaciones y predicciones de este cuerpo exitoso de conocimiento) debe ser vista como un caso particular de una teoría más general: la Teoría de la Información. El trabajo de Jaynes prestó atención a un principio general: el Principio de Máxima Entropía (o MaxEnt ). Hoy en día MaxEnt se utiliza, entre otras aplicaciones, para entender la aparición de distribuciones en biología y ecología (desde un enfoque de sistemas complejos), como por ejemplo: distribución de tamaños, distribución de rangos, distribución de energía, etc. En un esfuerzo muy reciente, el autor de este trabajo ha aplicado la teoría de MaxEnt para entender los patrones en sistemas urbanos, pero este trabajo aún no ha sido publicado y está en progreso.

Se ha enfatizado en la importancia de la contribución de la mecánica estadística y la teoría de MaxEnt al estudio de sistemas complejos y fenómenos naturales en general. En un trabajo reciente, Beck y Cohen introdujeron una generalización natural de la mecánica estadística [Beck y Cohen, 2003; Cohen, 2004]. La idea es muy simple, pero también muy potente. Cuando se trata de sistemas complejos de no-equilibrio con estados cuasiestacionarios a largo plazo sujetos a fluctuaciones espacio-temporales, se puede obtener la distribución de probabilidad, que tiene características muy peculiares, calculando el promedio sobre estas fluctuaciones. Un ejemplo típico de estas características puede ser el así llamado comportamiento de distribuciones de eventos extremos (como los terremotos, fluctuaciones y caídas de bolsas financieras, etc.), caracterizados usualmente por funciones escalables como las mencionadas al comienzo de este capítulo. Esta característica está presente en una variedad de fenómenos emergentes, por ejemplo los asociados a la autoorganización crítica [Zelinka et al., 2013].

Para ser más explícitos, veamos un ejemplo de cómo funciona la teoría. Supongamos que tenemos un sistema compuesto por muchos subsistemas. Cada subsistema tiene partículas que difunden a velocidades características promedio bien caracterizadas por un parámetro de difusión. En consecuencia, cada subsistema se caracterizará por una distribución bien definida caracterizada por el parámetro de difusión particular que tiene. Pero si consideramos el sistema completo (la agregación de todos los subsistemas) debemos promediar usando todas estas distribuciones particulares.

Es fácil darse cuenta del poder de este concepto y de la generalización que puede hacerse siguiendo estos métodos [Hanel, Thurner y Gell-Mann, 2011].

Circa 1950, Stanislaw Ulam y John von Neumann crearon un modelo para entender el comportamiento de unidades discretas en función del comportamiento de sus vecinos. Fue el comienzo de los modelos de autómatas celulares. El autómata celular es un modelo discreto basado en células, cada uno con un conjunto de estados: encendido/apagado o similar. Las posiciones de las células suelen estar en una cuadrícula regular (pero, de nuevo, se pueden organizar en redes complejas como la mencionada anteriormente). Luego, dada una condición inicial para los autómatas celulares, el siguiente estado será una actualización de cada cuadrícula según las reglas locales [Toffoli y Margolus, 1987; Schiff, 2011].

Para explicar las ideas esenciales, echemos un vistazo a un ejemplo simple: los autómatas celulares unidimensionales. En un autómata celular unidimensional cada célula puede estar en dos estados: cero y uno (o encendido y apagado, etc.). Dado el estado de una célula en el tiempo t , su configuración en el tiempo t+ 1 dependerá de: su propio estado en el tiempo t y el estado de los dos vecinos también en el instante t . Está claro entonces que los valores posibles para un vecindario son 2 a la potencia de 3, es decir 8, y luego se le da la opción de encendido o apagado, habrá un total de 2 a la 8, es decir 256 reglas para un autómata celular unidimensional como este.