Javier Milei - Pandenomics

Ahora, si un pequeño número de infectivos entra en contacto con una comunidad de susceptibles, nos preguntamos si es posible que se desate una epidemia. Con este propósito el modelo define una cantidad umbral llamada número básico de reproducción R 0igual a s 0/ ñ , que puede determinar la respuesta. Es fácil ver en la ecuación (5), que si R 0< 1 la infección se acaba, pero si R 0> 1, ocurre una epidemia, su magnitud será determinada por el valor R 0. En caso de que se desarrolle, el número de infectados llegará a un máximo, después del cual disminuirá. Para visualizar el comportamiento del sistema de ecuaciones diferenciales (4), (5) y (6) examinaremos trayectorias en un plano de fase sencillo ( i versus s ). Para este propósito eliminaremos de dicho sistema la dependencia en el tiempo y dividiremos la ecuación (4) entre la (5) para obtener:

di ⁄ ds = -1 + ρ ⁄ s (7)

VARIACIÓN DE INFECTADOS EN RELACIÓN A SUSCEPTIBLES, DONDE VARÍA S 0Y ρ FIJO

Cabe notar que todas las singularidades aparecen en di / ds = 0, es decir, en s = ρ . Al integrar obtenemos las trayectorias en el plano ( i , s ):

i - i 0= s - s 0+ ρ .ln ( s ⁄ s 0) (8)

A su vez, para fijar la constante de integración, hemos utilizado las condiciones iniciales. Las trayectorias en el plano de fase se muestran esquematizadas en la gráfica que se ha presentada arriba. La línea recta inclinada muestra la condición inicial caracterizada por r 0 = 0 , donde no hay removidos. De este modo, si la epidemia se presenta, sería bueno saber qué tan severa será. Usamos la condición di/d τ = 0 para encontrar el punto crítico, el cual ocurre en s = ρ , que corresponde al máximo de infectados, i max. Al usar la ecuación (8) para las trayectorias de fase y al hecho de que el número de removidos es nulo inicialmente, tenemos:

i max= ρ .ln ( ρ ⁄ s 0) - ρ + 1

que nos determina el número máximo de infectados a un cierto tiempo si conocemos el número inicial de personas susceptibles y el parámetro ñ . Cuando s 0 < ρ disminuyen los infectados y la epidemia acontece. En caso contrario, la epidemia comienza y el número de infectados evoluciona hasta un máximo en s = ρ , y después decrece. La línea vertical de la gráfica muestra los máximos de las curvas de los infectados, la cual separa las curvas tipo epidemia (lado derecho) de las no epidemias (lado izquierdo).

El proceso de infección evoluciona a partir de la línea recta inclinada, puede aumentar o disminuir el número inicial de infectados. La línea vertical separa las condiciones iniciales de epidemia (derecha) y no epidemia (izquierda), además señala el valor máximo de infectados que puede tener la población.

Una magnitud puede crecer de dos maneras: linealmente y exponencialmente. En un crecimiento lineal se suma algo en cada paso, mientras que en un crecimiento exponencial la magnitud se multiplica por algo en cada paso. En lenguaje matemático se dice que el crecimiento lineal sigue una progresión aritmética (sumar) y que el exponencial sigue una progresión geométrica (multiplicar).

El tipo de crecimiento que se produce en las epidemias como la del coronavirus es de tipo exponencial (en la fase inicial). De hecho, en la naturaleza y en la sociedad encontramos muchos fenómenos donde las magnitudes crecen con el tiempo de forma exponencial. En biología son exponenciales: el crecimiento del número de bacterias en un cultivo, la infección por un virus en una población no inmunizada, la división celular a partir del embrión o el crecimiento de un tumor. En física: las reacciones nucleares en cadena y la amplificación de la luz en un láser. En ciencias sociales, ejemplos clásicos son: el aumento de la población humana y el crecimiento económico de un país.

Para el caso de las epidemias, se define como tasa de crecimiento al número de nuevos casos que genera cada individuo por unidad de tiempo. La vamos a nombrar con la letra α :(Número-Número Previo)/Número Previo. Así, la tasa de crecimiento determina la velocidad y la intensidad con que crece una magnitud. Por ende, ante una tasa de crecimiento positivo indica que la población crece, mientras que una tasa de crecimiento negativo significa que la población decrece.

En cuanto a la determinación de la tasa de crecimiento existen factores que juegan a favor y otros factores que lo hacen en contra. Así, del mismo modo como es en el crecimiento demográfico juegan a favor los nacimientos y la inmigración; y juegan en contra los fallecimientos y la emigración, en una epidemia de virus juegan a favor del crecimiento la capacidad de infección del virus y el contacto humano; mientras que la vacunación, la detección precoz de personas afectadas con su consiguiente cuarentena y el confinamiento de la población le juegan en contra al virus.

Por otra parte, en el caso de una epidemia de virus, las personas que van enfermando se retiran del grupo de personas contagiosas al ser detectadas y, entonces, ellas ya no siguen contribuyendo al contagio (estas personas son las que hemos llamado en el modelo SIR como removidas). Por ello, la tasa de crecimiento que hemos definido no coincide con lo que llama tasa de infección, salvo en el caso de que todos los infectados se mantuvieran activos indefinidamente, cosa que no ocurre. Este balance entre factores en contra y a favor, nos llevará a definir el número reproductivo, un parámetro importantísimo en el estudio de la dinámica de las epidemias.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA LOGÍSTICA (FUNCIÓN SIGMOIDE)

Por otra parte, vale la pena notar que el crecimiento exponencial en el mundo real no puede ocurrir indefinidamente. Ello se debe a una simple cuestión de agotamiento de recursos. El crecimiento exponencial puede prolongarse más o menos tiempo, pero siempre termina alcanzándose una situación de equilibrio o estacionaria, donde la magnitud ya no crece más y se mantiene constante, o incluso puede decrecer. En una epidemia esto ocurre cuando el número de personas que quedan sin enfermar es menor que el mínimo necesario para que los contagios sigan propagándose, donde a ese mínimo necesario se lo denomina masa crítica. Por lo tanto, el crecimiento en un sistema finito siempre lleva a esta situación de saturación el sistema. El número de nuevos individuos que van apareciendo no es proporcional a los individuos existentes, sino que es proporcional a dicho número multiplicado por la capacidad del sistema. Así, el crecimiento puramente exponencial solamente se presenta en la primera fase el crecimiento de una epidemia, después se va ralentizando por sí solo. La curva que describe el número total de personas afectadas es una función que se denomina sigmoidea de la cual surge una curva logística.

Para desarrollar la función sigmoide y así derivar la curva logística partimos con la definición de capacidad del sistema: