José Manuel Cabello García - Operaciones auxiliares con Tecnologías de la Información y la Comunicación. IFCT0108

1 Sistema decimal: el más extendido y universal dentro del lenguaje humano, se basa en 10 números, concretamente 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

2 Sistema octal: utilizado también por los ordenadores gracias a ser su base 8 potencia de 2. Los símbolos utilizados por el sistema octal son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

3 Sistema hexadecimal: caso similar al anterior, al ser la base potencia de 2. En este caso, se requieren 16 símbolos para representar un número. Los numéricos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, y los no numéricos: A, B, C, D, E y F.

Si se codifica un número de un sistema numérico cualquiera en forma de vector, la forma de representarlo en el sistema decimal se determina por medio de la siguiente fórmula:

N (vector) = (dígito n, dígito n1, …, dígito i, …, dígito 1, dígito 0, dígito -1, …, dígito -m) N (valor) = ∑ i=-d,n(dígito) i, ⋅ (base) i

Esta fórmula es consecuencia directa del Teorema fundamental de la numeración, que se pasa a comprobar en la siguiente aplicación práctica, en la se convierten diferentes números de distintos sistemas numéricos al sistema decimal.

Aplicación práctica

Imagine que está trabajando en una empresa del sector informático como técnico de sistemas y un compañero del departamento de desarrollo de aplicaciones está codificando una aplicación informática para la cual necesita la conversión entre números de diferentes sistemas de numeración y, como usted sabe hacerlo, le pide ayuda para convertir los siguientes números, cada uno desde la base que se especifica a base decimal: 2D1 (16), 1321 (8)y 1011010001 (2).

SOLUCIÓN

2D1 (16)(D equivale a 13)

2 x 16 2+ 13 x 16 1+ 1 x 16 0= 512 + 208 + 1 = 721 (10)1321 (8)

1 x 8 3+ 3x8 2+ 2x8 1+ 2x8 0= 512 +192 + 16 + 1 = 721 (10)1011010001 (2)

1 x 2 9+ 0 x 2 8+ 1 x 2 7+ 1 x 2 6+ 0 x 2 5+ 1 x 2 4+ 0 x 2 3+ 0 x 2 2+ 0 x 2 1+ 1 x 2 0= 512 + 0 + 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 721 (10)

Se ha comprobado cómo convertir diferentes números de diferentes sistemas numéricos al sistema decimal. Para realizar el proceso inverso, se realizarán divisiones sucesivas del número decimal entre la base del sistema a transformar y se irán almacenando los restos de las divisiones para posteriormente formar el valor transformado.

Nota

Para realizar la conversión a otro sistema de numeración, se realizará el mismo proceso, sustituyendo como divisor la base del sistema en cuestión.

En la siguiente tabla, se muestran los primeros números decimales convertidos a los sistemas numéricos binario, hexadecimal y octal.

Aplicación práctica

Imagine que un compañero del departamento de desarrollo le pide el favor de que le explique el proceso de conversión de un número en base decimal a base octal, por ejemplo el 721. ¿Cómo se lo explicaría de un modo gráfico?

SOLUCIÓN

Conversión de base decimal o octal

La información que un equipo informático puede manipular y, por tanto, representar, se engloba a grandes rasgos en dos bloques que son el resultado de una división que depende de la naturaleza de los mismos. Por un lado, se representan secuencias de tipo numérico y, por otro, secuencias de caracteres.

Para un ordenador, existen diferentes formas de representación de datos numéricos, las cuales se basan en una serie de principios a tener en cuenta a la hora de elegir el modo de representación de los mismos.

Dichos principios a tomar en consideración son los siguientes:

1 La naturaleza de la secuencia numérica.

2 El intervalo o rango de los datos que se estimen representables, así como la precisión o número de dígitos imprescindibles para representar un valor numérico dado.

3 Aunque hoy en día los equipos informáticos evolucionan muy rápidamente y trabajan a unas velocidades vertiginosas, es conveniente optimizar los gastos de fabricación de los equipos, siendo estos acordes con los requisitos de representación de los datos numéricos.

Nota

La forma de representar un dato numérico de tipo entero diferirá de hacerlo para un dato numérico de tipo real.

Para la representación de números enteros, existen dos clases diferentes cuya distinción se hace al dotar a cada dígito de un valor que está subordinado tanto al propio símbolo numérico como a su posición. Este sistema de representación se denomina posicional y transforma el número a modo de vector.

Por otro lado, como segunda clase, se mantienen los sistemas de numeración no posicionales, en los cuales no influye la posición en la que se encuentre un número, sino el valor que posea.

Un sistema de numeración posicional se basa en que a cada uno de sus dígitos se le asigna un valor que depende tanto del propio valor del dígito como de la posición en la que este se encuentre.

En cuanto a los sistemas de numeración posicionales, existen los siguientes:

Se trata de una manera de representar en binario los números enteros con signo. Se empleará un bit para ello, el de la izquierda o más significativo, y todos los demás para el valor absoluto del número. Como valor más significativo, el 0 indica que el número es positivo y el 1 que el número es negativo.

Para este caso, se procederá con una conversión tradicional al sistema binario para los números positivos. Sin embargo, para números negativos, se convertirá a binario el número y seguidamente se realizará una operación NOT para todos los bits o, lo que es lo mismo, invertir ceros por unos y unos por ceros.

En caso de ser positivo, se operará del mismo modo que en complemento a 1 para estos, es decir, con una conversión tradicional al sistema binario. Para el caso de los números negativos, se opera como si a complemento a 1 se tratase además de sumar 1.

Nota

El complemento a 2 es igual que el complemento a 1 para números positivos y, en caso de números negativos, además de ser igual al complemento a 1, hay que sumarle 1.

En la siguiente tabla, se pueden observar números de 4 bits representados en cada uno de los sistemas de numeración posicionales.