Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Нет никаких сомнений, что «Основания» – монументальное достижение в логике, однако едва ли можно считать этот труд долгожданными основами математики. Теорию типов Рассела многие считают несколько искусственным способом избавиться от проблемы парадоксов [131] Теория типов и в самом деле уже не пользуется благосклонностью большинства математиков. Однако очень похожая конструкция постоянно находит себе применение в программировании. См., например, Mitchell 1990. , причем этот способ сам по себе приводит к разным неприятным осложнениям. Например, рациональные числа, то есть простые дроби, принадлежат, как выяснилось, к более высокому типу, чем натуральные числа. Чтобы избежать некоторых таких осложнений, Рассел и Уайтхед ввели дополнительную аксиому, так называемую аксиому сводимости, которая сама по себе вызывает серьезные противоречия и недоверие.

Математики Эрнст Цермело и Абрахам Френкель предложили более изящные способы искоренить парадоксы. Они, в сущности, сумели снабдить теорию множеств самодостаточной системой аксиом и воспроизвести большинство результатов этой теории. На поверхностный взгляд сбылась мечта платоников – по крайней мере, отчасти. Если теория множеств и логика и в самом деле две стороны одной медали, значит, прочный фундамент теории множеств обеспечивает и прочный фундамент логики. А если к тому же почти вся математика выводится из логики, это придает математике своего рода объективную надежность, которую, кроме всего прочего, можно было бы привлечь для объяснения эффективности математики.

К сожалению, ликовали платоники недолго, поскольку их почти сразу же постиг тяжелый случай дежавю.

В 1908 году немецкий математик Эрнст Цермело (1871–1953) прошел по пути, очень похожему на тот, который проложил Евклид около 300 года до н. э. [132] Описание научных достижений Цермело см. в Ewald 1996. . Евклид сформулировал несколько недоказуемых, но, как предполагалось, самоочевидных постулатов о точках и линиях, а затем на их основании выстроил геометрию. Цермело – который независимо нашел парадокс Рассела еще в 1900 году – предложил способ выстроить теорию множеств на таком же аксиоматическом фундаменте. В его теории парадокс Рассела обходился при помощи тщательного отбора принципов конструирования, исключавших противоречивые идеи вроде «множества всех множеств». Систему Цермело в 1920-е годы развил и дополнил израильский математик Абрахам Френкель (1891–1965), в результате чего была создана так называемая теория множеств Цермело-Френкеля (важные коррективы внес и Джон фон Нейман в 1925 году) [133] Переводы статей Цермело, Френкеля и логика Туральфа Скулема на английский язык можно найти в van Heijenoort 1967. Относительно щадящее введение в теорию множеств и систему аксиом Цермело-Френкеля см. в Devlin 1993. . Все складывалось почти идеально, оставалось лишь доказать непротиворечивость, однако очень скоро возникли неприятные подозрения. Была одна аксиома – аксиома выбора , – которая, в точности как знаменитый «пятый постулат» Евклида, не давала математикам спокойно спать. На простом и понятном языке аксиома выбора гласит: если Х – набор (множество) непустых множеств, можно выбрать по одному члену из каждого множества в Х и сформировать из них новое множество Y [134] Подробнейшее обсуждение этой аксиомы см. в Moore 1982. . Легко убедиться, что это утверждение истинно, если набор X не бесконечен. Например, если у нас сто коробок и в каждой лежит по крайней мере по одному стеклянному шарику, можно запросто взять по шарику из каждой коробки и сформировать новое множество Y , в которое войдут сто стеклянных шариков. В таком случае нам и особой аксиомы не нужно – мы можем доказать, что такой выбор возможен. Это утверждение верно и для бесконечных наборов Х , если только мы можем точно указать, как именно мы делаем выбор. Представьте себе, например, бесконечный набор непустых множеств натуральных чисел. Членами этого набора могут быть множества вроде {2, 6, 7}, {1, 0}, {346, 5, 11, 1257}, {все натуральные числа от 381 до 10 457} и тому подобные. В каждом множестве натуральных чисел всегда есть одно самое маленькое число. Поэтому наш выбор вполне можно однозначно описать следующим образом: «Из каждого множества мы выбираем наименьший элемент». В таком случае опять же можно обойтись без аксиомы выбора. Сложности возникают с бесконечными наборами в тех случаях, когда мы не можем определить способ выбора. В таких случаях процесс выбора никогда не кончается, и существование множества, в котором содержится ровно по одному элементу из каждого члена набора X , становится вопросом веры.