Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Класс или множество – это просто набор объектов. Объекты не обязательно должны быть как-то связаны. Вполне можно говорить об одном классе, в который входят все объекты из следующего списка: телесериалы, которые шли в 2003 году, белый конь Наполеона и понятие истинной любви. Элементы, принадлежащие к определенному классу, называются членами этого класса.

Большинство классов объектов, с которыми вы, скорее всего, сталкиваетесь, не члены самих себя. Например, класс всех снежинок сам по себе не снежинка, класс всех антикварных карманных часов – не антикварные карманные часы и так далее. Однако бывают и такие классы, которые приходятся членами сами себе. Например, класс «все, что не антикварные карманные часы» – член самого себя, поскольку этот класс совершенно точно не антикварные карманные часы. Подобным же образом класс всех классов – член самого себя, поскольку он, очевидно, класс. А как насчет класса «всех тех классов, которые не члены самих себя» [127] Парадокс Рассела, его следствия и возможные выходы из положения обсуждаются, например, в Boolos 1999, Clark 2002, Sainsbury 1988 ии Irvine 2003. ?

Назовем этот класс R. Так принадлежит R к самому себе (к классу R ) или нет? Очевидно, что R не может принадлежать R , поскольку в таком случае он нарушал бы определение членства в R . Но если R не принадлежит сам к себе, то, по определению, он должен быть членом R . Поэтому, как и в случае с деревенским цирюльником, мы обнаруживаем, что класс R одновременно и принадлежит, и не принадлежит R , а это логическое противоречие. Именно об этом парадоксе Рассел и написал Фреге. Поскольку эта антиномия подрывала сам процесс, по которому могли определяться классы или множества, программе Фреге был нанесен смертельный удар. Хотя Фреге и сделал несколько отчаянных попыток исправить свою систему аксиом, к успехам это не привело. Напрашивался катастрофический вывод: оказывается, формальная логика вовсе не надежнее математики, а напротив, гораздо больше подвержена фатальным противоречиям.

Примерно в то же время, когда Фреге разрабатывал свою программу логицизма, итальянский математик и логик Джузеппе Пеано разработал несколько иной подход. Пеано хотел основать арифметику на аксиоматическом фундаменте. Поэтому он отталкивался от формулировки набора простых лаконичных аксиом. Например, первые три его аксиомы гласили ( пер. В. Целищева ).

1. Ноль есть число.

2. Последующий элемент каждого числа есть число.

3. Никакие два числа не имеют одного и того же последующего элемента.

Сложность в том, что хотя система аксиом Пеано и в самом деле позволяет воспроизвести известные законы арифметики (если ввести дополнительные определения), на ее основе невозможно дать однозначное определение натуральных чисел.

Следующий шаг проделал Бертран Рассел. Рассел считал, что первоначальная идея Фреге – вывести арифметику из логики – это правильный путь. Поставив перед собой нелегкую задачу, Рассел в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом (рис. 50) создали невероятный шедевр логической мысли – фундаментальный трехтомный труд «Основания математики» (« Principia Mathematica ») [128] Whitehead and Russell 1910. Популярный, но очень познавательный сжатый пересказ содержания «Оснований» см. Russell 1919. . Эта книга стала самым авторитетным трудом в истории логики за исключением разве что «Органона» Аристотеля (на рис. 51 приведен титульный лист первого издания).

Рис. 51

В «Основаниях» Рассел и Уайтхед отстаивали ту точку зрения, что математика в целом зиждется на проработке и развитии законов логики и между ними нет четкого разграничения [129] Сравнение идей Рассела и Фреге см. в Beaney 2003. Обзор логицизма Рассела см. в Shapiro 2000 и Godwyn and Irvine 2003. . Однако, чтобы добиться самодостаточного описания, им нужно было каким-то образом обуздать антиномии, или парадоксы (вдобавок к парадоксу Рассела нашлись и другие). Это требовало очень хитроумных логических манипуляций. Рассел считал, что эти парадоксы возникают исключительно из-за «порочного круга», когда сущности определяют в терминах класса объектов, который сам содержит определяемую сущность. Вот как он об этом писал: «Если я говорю “Наполеон имел все качества, которые сделали его великим полководцем”, я должен определить “качества” таким образом, который не включал бы то, о чем я сейчас говорю, то есть “обладание всеми качествами великого полководца” не должно быть качеством в предположенном смысле». Чтобы избежать этого парадокса, Рассел предложил «теорию типов», в которой класс (множество) принадлежит к более высокому логическому типу, чем его члены [130] Прекрасное разъяснение можно найти в Urquhart 2003. . Например, все отдельные игроки футбольной команды «Далласские ковбои» принадлежали бы к типу 0. Сама команда «Далласские ковбои», класс игроков, принадлежала бы к типу 1. Национальная футбольная лига, класс команд, была бы типа 2, а совокупность лиг, если бы таковая существовала, – типа 3 и так далее. По этой системе сама идея класса, который является членом самого себя, не ложна и не истинна, а просто бессмысленна. Поэтому парадоксы наподобие парадокса Рассела в системе Рассела и Уайтхеда не встречаются.