Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Как я уже отметил, Фреге был убежден, что любое утверждение, имеющее отношение к натуральным числам, можно познать и вывести исключительно на основе логических определений и законов. Подобным же образом он начал свое описание темы натуральных чисел, не требуя никакого априорного понимания идеи «числа». Например, на логическом языке Фреге два концепта равномощны (то есть с ними ассоциируется одно и то же число), если есть взаимно однозначное соответствие между объектами, «подпадающими под» один концепт, и объектами, «подпадающими под» другой. То есть крышки от мусорных баков равномощны самим мусорным бакам (если у каждого бака есть крышка), и это определение не требует никакого упоминания о числах. Затем Фреге предлагает интереснейшее логическое определение числа 0. Представьте себе концепт F , который по определению «не тождествен самому себе». Поскольку любой объект должен быть тождествен самому себе, то под концепт F не подпадают никакие объекты. Иначе говоря, F (x) – ложь для любого объекта x . Привычное всем нам число нуль Фреге определил как «мощность концепта F ». Затем он определил все натуральные числа в терминах сущностей, которые назвал объемами (Frege 1884). Объем концепта – это класс всех объектов, подпадающих под этот концепт. Человеку, далекому от логики как науки, переварить такое определение, пожалуй, сложновато, но на самом деле все очень просто. Например, объем концепта «женщина» – это класс всех женщин. Обратите внимание, что объем класса «женщина» сам по себе не женщина.

Вероятно, вам интересно, как это абстрактное логическое определение помогает определить, скажем, число 4. По Фреге, число 4 – это объем (или класс) всех концептов, под которые подпадают четыре объекта. Так что к этому классу, а следовательно, к числу 4, принадлежит и концепт «быть лапкой песика по имени Снупи», и концепт «прабабушка Готлоба Фреге».

Программа Фреге произвела настоящую сенсацию, однако были у нее и серьезные недостатки. С одной стороны, идея применять концепты – самую суть мышления – к построению арифметики была просто гениальной. С другой – Фреге не разглядел в собственной системе понятий весьма существенные противоречия. В частности, доказано, что одна из его аксиом, так называемый «Основной закон V », ведет к противоречию и поэтому безнадежно ошибочна. Сам по себе закон довольно невинен: он гласит, что объем концепта F идентичен объему концепта G тогда и только тогда, когда под концепты F и G подпадают одни и те же объекты. Однако 16 июня 1902 года разорвалась бомба: Бертран Рассел (рис. 49) написал Фреге письмо, где привел некий парадокс, доказывавший, что Основной закон V приводит к противоречию. Судьба распорядилась так, что письмо Рассела пришло как раз тогда, когда второй том «Основных законов арифметики» готовился к печати. Потрясенный Фреге поспешил сделать к рукописи откровенное примечание: «Едва ли для ученого что-то может быть неприятнее, чем обнаружить, что самые основы его рассуждений рухнули, когда работа уже завершена. Именно в такое положение поставило меня письмо мистера Бертрана Рассела, когда книга была уже практически в печати». Самому же Расселу Фреге, как человек благородный, написал: «Открытое Вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить арифметику».

Как странно, однако, что один-единственный парадокс оказал такое разрушительное воздействие на целую программу, целью которой было заложить основы математики, но, как отметил Уиллард Ван Орман Куайн, «Не раз и не два в истории случалось так, что открытие парадокса становилось поводом для основательной реконструкции самого фундамента мысли». Именно такой повод и предоставил парадокс Рассела.

Рис. 49

Теорию множеств создал практически в одиночку немецкий математик Георг Кантор. Вскоре стало понятно, что множества играют в математике настолько фундаментальную роль и настолько тесно переплетены с логикой, что любые попытки выстроить математику на основе логики с необходимостью предполагали, что ее будут строить на аксиоматической основе теории множеств.

Рис. 50