Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Аксиома выбора с самого начала породила среди математиков серьезные споры. Поскольку она постулирует существование определенных математических объектов, то есть «выборов», не обеспечивая никаких сколько-нибудь осязаемых примеров таких объектов, на это обрушился шквальный огонь, особенно со стороны приверженцев философской школы под названием конструктивизм (родственной интуиционизму ). Конструктивисты считали, что все сущее должно быть также эксплицитно конструируемым. Другие математики также старались обойти аксиому выбора и при работе с теорией множеств Цермело-Френкеля ограничивались всеми остальными аксиомами.

Из-за явных недостатков аксиомы выбора математики задались вопросом: неужели нельзя либо доказать, либо опровергнуть эту аксиому через остальные аксиомы. История с пятым постулатом Евклида повторилась буквально. Ответить на этот вопрос отчасти удалось в конце 1930 годов. Это сделал Курт Гёдель (1906–1978), один из самых влиятельных логиков всех времен: он доказал, что аксиома выбора и другая знаменитая поправка, принадлежащая основателю теории множеств Георгу Кантору – континуум-гипотеза – не противоречат другим аксиомам Цермело-Френкеля [135] Кантор придумал способ сравнивать мощность бесконечных множеств. В частности, он доказал, что мощность множества вещественных чисел больше, чем множества целых. Затем он сформулировал континуум-гипотезу, согласно которой не существует множества, мощность которого лежит строго между мощностями множеств целых и вещественных чисел. Когда Давид Гильберт в 1900 году составил свой знаменитый список нерешенных проблем математики, вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, стоял на первом месте. Относительно недавнее обсуждение этой проблемы можно найти в Woodin 2001a, b. . То есть получалось, что ни ту ни другую гипотезу нельзя опровергнуть при помощи других стандартных аксиом теории множеств. Дополнительные доказательства получил в 1963 году американский математик Пол Коэн (1934–2007), скончавшийся, увы, в то время, когда я писал эту книгу. Он установил, что аксиома выбора и континуум-гипотеза полностью независимы друг от друга (Cohen 1966). Иначе говоря, аксиому выбора нельзя ни доказать, ни опровергнуть при помощи других аксиом. Подобным же образом и континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть при помощи тех же самых аксиом, даже если включить в них аксиому выбора.

У этого уточнения были колоссальные философские последствия. Как и в случае неевклидовых геометрий в XIX веке, оказалось, что нет никакой одной-единственной, окончательной теории множеств, – на самом деле их как минимум четыре! Если придерживаться разных представлений о бесконечных множествах, можно получить взаимоисключающие теории множеств. Скажем, если решить, что верны и аксиома выбора, и континуум-гипотеза, получишь одну версию, а если решить, что обе неверны, – совсем другую. Еще две теории множеств получатся, если предположить, что одна теория верна, а другая нет.

Да, неевклидов кризис разразился вновь, только теперь все было еще хуже. Фундаментальная роль теории множеств как потенциального фундамента для всей математики лишь усугубляла проблемы платоников. Если и в самом деле можно сформулировать разные теории множеств, просто выбрав другую коллекцию аксиом, разве это не свидетельствует, что математика не более чем человеческое изобретение? Складывалось впечатление, что формалисты победили…

В то время как Фреге был весьма озабочен значением аксиом, главный сторонник формализма, великий немецкий математик Давид Гильберт (рис. 52), ратовал за то, чтобы полностью избегать любого толкования математических формул. Гилберт не интересовался вопросами вроде того, можно ли вывести математику из логических понятий. Нет, для него математика и должна была состоять просто из набора бессмысленных формул – структурированных закономерностей, составленных из произвольных символов [136] Прекрасное описание программы Гильберта можно найти в Sieg 1988. Превосходный обзор истории математики до наших дней и разбор противоречий между логицизмом, формализмом и интуиционизмом представлены в Shapiro 2000. . Задачу гарантировать основы математики Гильберт переложил на новую дисциплину – он называл ее «метаматематика». Метаматематика должна была заниматься применением собственно методов математического анализа для доказательства, что весь процесс, который обеспечивала формальная система, – процесс вывода теорем из аксиом по строгим правилам умозаключений – непротиворечив. Иначе говоря, Гильберт считал, что может математически доказать, как устроена математика. Вот как он сам говорил об этом [137] Эту лекцию Гильберт прочитал в Лейпциге в сентябре 1922 года. Текст опубликован, в частности, в Ewald 1996. .