Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Рис. 52

Мои исследования в области новых оснований математики ставят целью не менее чем исключить раз и навсегда общие сомнения в надежности математических выводов… Все, что до сих пор составляло математику, следует строго формализовать, чтобы собственно математика, математика в строгом смысле слова, стала набором формул… В дополнение к этой формализованной собственно математике у нас есть математика, в некоторой степени новая, метаматематика, которая необходима, чтобы обеспечивать математику, и в которой, в противоположность чисто формальным модусам умозаключений в собственно математике, применяют контекстуальные выводы, но лишь для доказательства непротиворечивости аксиом… таким образом, развитие математической науки в целом происходит по двум путям, которые постоянно чередуются: с одной стороны, мы выводим доказуемые формулы из аксиом посредством формальных выводов, с другой – мы присоединяем к ним новые аксиомы и доказываем их непротиворечивость при помощи контекстуальных выводов.

Программа Гильберта жертвовала смыслом ради того, чтобы обеспечить надежные основы. Поэтому для его последователей-формалистов математика и в самом деле была лишь игрой, однако их целью было строго доказать, что эта игра полностью логически последовательна [138] Хороший обзор формализма как учения – Detlefsen 2005. . При всех достижениях аксиоматизации казалось, что эта формалистическая «доказательно-теоретическая» мечта сбудется буквально со дня на день.

Однако не все были убеждены, что Гильберт избрал верный путь. Людвиг Витгенштейн (1889–1951), которого многие называют величайшим философом ХХ века, считал, что Гильберт напрасно тратит время на метаматематику [139] Прекрасную биографию Витгенштейна написал Рэй Монк (Monk 1990). . «Нельзя устанавливать правило для применения другого правила», – настаивал он. Иными словами, Витгенштейн не считал, что понимание одной «игры» может зависеть от создания другой: «Если у меня возникла неясность относительно природы математики, мне не поможет никакое доказательство» (Waismann 1979).

Рис. 53

И все же никто не мог предугадать, какой вот-вот грянет гром. Двадцатичетырехлетний Курт Гёдель одним ударом вбил кол в самое сердце формализма.

Курт Гёдель (рис. 53) родился 28 апреля 1906 года в моравском городе, который сейчас известен под чешским названием Брно [140] Недавно составленная биография Гёделя – Goldstein 2005. Стандартной биографией считается Dawson 1997. . В то время город назывался Брюнн, находился в Австро-Венгерской империи, и Гёдель рос в семье, где говорили по-немецки. Его отец Рудольф Гёдель управлял текстильной фабрикой, а мать Марианна Гёдель следила, чтобы юный Курт получил должное широкое образование – изучал математику, историю, языки и теологию. Подростком Гёдель почувствовал особый интерес к математике и философии и в восемнадцать лет поступил в Венский университет, где его внимание привлекала в основном математическая логика. Особенно его восхищали « Principia Mathematica » Рассела и Уайтхеда и программа Гильберта, поэтому темой диссертации он выбрал задачу о полноте . Целью этого исследования было, вообще говоря, определить, достаточно ли формального подхода, за который ратовал Гильберт, чтобы вывести все истинные утверждения математики. В 1930 году Гёдель получил докторскую степень, а всего через год опубликовал свои теоремы о неполноте, от которых по философскому и математическому миру прокатилось настоящее цунами [141] В число прекрасных книг о теоремах Гёделя, их смысле и связи с другими отраслями знания входят Hofstadter 1979, Nagel and Newman 1959 и Franzén 2005. .

На чисто математическом языке эти теоремы звучали непонятно для непосвященных и не особенно интересно.

1. Любая непротиворечивая формальная система S , в пределах которой можно вывести определенный объем элементарной арифметики, может считаться неполной по отношению к утверждениям элементарной арифметики: существуют утверждения, которые в рамках S невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

2. Для любой непротиворечивой формальной системы S , в пределах которой можно вывести определенный объем элементарной арифметики, невозможно доказать непротиворечивость S в рамках самой S.