Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Математика – это язык, на котором говорит наука. Стоит ли удивляться, что большинство законов природы описываются с помощью математического алфавита? Исчисление – один из способов познать суть вещей, то, как они изменяются, развиваются, движутся. Эту главу мы посвятим измерению скорости, с которой изменяются функции, и изучению теории приближений – примерной оценки (аппроксимации) сложных и простых полиномиальных функций (многочленов). А еще исчисление – мощное средство оптимизации . Это наиболее эффективный способ подобрать такие величины и порядок работы с ними, которые дадут оптимальный результат. (Например, если мы планируем доходы или надеемся выжать максимум при минимуме затраченных усилий, результат должен быть наибольшим, а если хотим сэкономить или ищем кратчайший путь из точки А в точку Б, – наименьшим.)

Предположим, что у вас есть лист картона размером 12 на 12 см (см. рисунок). Наша задача – сделать из него лоток, для чего нам нужно от каждого из четырех углов отрезать по квадратику размером x на x сантиметров. Чему должен быть равен x , чтобы у нас получился максимально вместительный лоток?

Представим объем как функцию x . Площадь основания лотка равна (12 – 2 x )(12 – 2 x ), а высота его стенок – x . Значит, объем можно посчитать как

кубических сантиметров. Значение x должно быть таким, чтобы значение V было максимальным. Однако в крайности впадать не следует: при x = 0 или x = 6 объем лотка будет нулевым. Значит, оптимальный результат лежит где-то между этими двумя значениями.

Попробуем графический подход – визуализируем функцию y = (12 – 2 x )² x для значений x в диапазоне от 1 до 6. При x = 1 объем составит y = 100; при x = 2 – y = 128; при x = 3 – y = 108. Значение x = 2 выглядит многообещающе, но что, если в диапазоне от 1 до 3 есть другая действительная величина, которая подойдет нам еще лучше?

Влево от максимума функция растет, вправо – уменьшается. Слева значение ее наклона положительное, справа – отрицательное. В самой верхней точке не происходит ничего – функция в ней словно застыла в нерешительности, выбирая, куда направиться: вверх или все-таки вниз. Поэтому через нее можно смело провести горизонтальную (то есть с нулевым наклоном) касательную. Именно ее – такую оптимальную точку – мы и будем искать в этой главе.

А заодно мы коснемся касательных, и для этого нам придется среза́ть углы, причем не только в переносном, но и вполне себе прямом (как мы это делали только что в задачке про лоток) смысле.

Исчисление – штука непростая и громоздкая: у вас вряд ли получится найти по ней учебник меньше, чем на тысячу страниц. В нашем же распоряжении их едва ли больше 20, поэтому единственное, что мы успеем – так это чуть-чуть посветить спичкой в темной комнате. Все, что нам предстоит увидеть, – дифференциальный аспект исчисления, касающийся функций; интегральную же сторону, необходимую для того, чтобы подсчитывать площади и объемы сложных объектов, придется оставить пылиться в углу.

Начнем с самого простого – функций, представленных прямыми. В главе 2 мы уже говорили о том, что наклон графика линейной функции y = mx + b равен m . Следовательно, при росте значения x на единицу y будет увеличиваться на m . Допустим, наклон y = 2 x + 3 равен 2. Увеличив x на 1 (скажем, с x = 10 до x = 11), мы тем самым увеличим y на 2 (то есть с 23 до 25).

На графике ниже проведено несколько разных линий. Диагональная функция y = – x имеет наклон –1, а горизонтальная y = 5 – наклон 0.

Задав две точки, мы можем провести через них прямую. Ее наклон можно определить, не прибегая к формуле самой прямой, – достаточно взять координаты точек ( x 1, y 1) и ( x 2, y 2) и вставить их в уравнение