Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Не существует целых величин меньше 1, поэтому мы не можем считать n!R целым числом. Значит, наше предположение, что e = m / n , ведет к противоречию, из чего следует, что число e – иррациональное.◻

Число e было открыто и введено в оборот великим математиком Леонардом Эйлером. И именно Эйлер впервые обозначил его буквой e . Но, как полагает большинство специалистов по истории математики, вовсе не потому, что это была первая буква его фамилии [34]. Тем не менее e до сих пор достаточно часто называют «числом Эйлера».

Нам уже встречались бесконечные последовательности для функций e x , cos x и sin x . Откуда они берутся, мы узнаем в следующей главе. Сейчас же просто соберем их в одном месте:

Считалось, что эти формулы работают при любых действительных значениях x . Эйлеру же хватило дерзости предположить, что они будут истинны и при мнимых значениях х . Задавшись вопросом, что произойдет, если возвести число в степень мнимого числа, он сформулировал свою известную теорему.

Теорема Эйлера:Для любого значения угла θ (выраженного в радианах)

Доказательство:Посмотрим, что будет происходить с последовательностью для e xпри x = i θ:

Обратите внимание на поведение i при возведении его в последовательные степени: i 0= 1, i 1= i, i 2= –1, i 3= – i (последнее потому, что i 3= i 2 i = – i ). Затем закономерность повторяется: i 4= 1, i 5= i, i 6= –1, i 7= – i, i 8= 1 и т. д. Еще более пристальное внимание следует обратить на то, что среди полученных результатов последовательно чередуются действительные и мнимые величины, что дает нам возможность выносить число i за скобки при каждом втором шаге:

Это приводит нас к доказательству «уравнения Бога», с которого мы начинали эту главу. Приняв θ = π рад (или 180°), мы получим

Но это далеко не все, о чем говорит нам теорема Эйлера. Мы уже встречались с cos θ + i sin θ – это есть точка на единичной окружности, лежащей на комплексной плоскости. Вместе с «положительной» половиной оси x она образует угол θ. Так вот, с помощью теоремы Эйлера эту точку можно представить очень простым способом – таким, какой показан на графике

Но и это еще не все! Любая точка комплексной плоскости имеет на окружности свое соответствие. А именно комплексная величина z с модулем R и углом θ представляет собой некую в R раз увеличенную точку, лежащую на окружности. Другими словами,

Следовательно, если у нас на комплексной плоскости есть две точки z 1= R1e iθ 1 и z 2= R 2e iθ 2 , то, согласно правилам действий со степенями (в версии, касающейся комплексных величин)

что является комплексным числом с модулем R 1 R 2и углом θ 1+ θ 2. И снова мы приходим к выводу, что произведение комплексных величин – это, по сути, произведение их модулей и сумма их углов. Только согласитесь: теорема Эйлера и число e приводят нас к этому умозаключению куда безболезненнее и быстрее, чем наше предыдущее – длиной в целую страницу – алгебраическо-тригонометрическое доказательство.

Давайте же восславим число e уже ставшим привычным для нас способом (и да простит нас Джойс Килмер [35]):