Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

А что насчет графика 5 x ? Так как e < 5 < e ², он должен лежать между e x и e 2 x . Если точнее, то e 1,609… = 5, следовательно, 5 x ≈ e 1,609 x . В целом же любую функцию a x можно представить в виде e kx , где k есть экспонента, соответствующая a = e k . А для того, чтобы найти k , нам понадобятся логарифмы .

Точно так же, как квадратный корень является обратным представлением квадратичной функции (то есть находится с ней во «взаимоотменяющих» отношениях), логарифм является обратным представлением показательной (экспоненциальной) функции. Наиболее часто используемый логарифм – десятичный (то есть по основанию 10), обозначаемый как lg x . Считается, что

из чего следует

Например, так как 10² = 100, lg 100 будет равен 2. Вот очень полезная таблица логарифмов:

Одной из причин популярности логарифмов является их уникальная способность преобразовывать огромные значения в малые, куда более удобоваримые для человеческого ума. Логарифмы, в частности, используются при измерении и подсчете магнитуды землетрясения по шкале от 1 до 10 (да-да, это я о знаменитой шкале Рихтера), громкости звука (в децибелах), кислотности химических растворов ( pH ) и даже рейтинга посещаемости интернет-страниц (в алгоритме PageRank , придуманном корпорацией Google ).

Что собой представляет lg 512? Любой профессиональный калькулятор (равно как и большинство поисковых систем в Интернете) скажет вам, что log 512 = 2,709…. Вполне похоже на правду: 512 находится между 10² и 10³, а значит, его логарифм должен быть больше 2, но меньше 3.

Логарифмы были изобретены для того, чтобы преобразовывать умножение в более простое сложение. Основано это на одной любопытной теореме.

Теорема:Для любых положительных значений x и y

Другими словами, логарифм произведения равен сумме логарифмов .

Доказательство:Согласно правилам действий со степенями,

Следовательно, возведение 10 в степень lg x + lg y дает xy , что и требовалось доказать.◻

Не менее полезно следующее правило.

Теорема:Для любого положительного значения x и любого целого значения n

Доказательство:Согласно правилам действий со степенями, a bc = ( a b ) c . Следовательно,

то есть логарифм x n равен n lg x .◻

Десятичный логарифм – штука вполне себе обычная, насколько вообще обычным может быть нечто столь активно использующееся в таких важных областях науки, как химия, физика или геология (справедливости ради все же следует упомянуть, что в информатике и дискретной математике предпочтение отдается логарифму с основанием 2). В целом же для любого значения b > 0 логарифм по основанию b log b определяется согласно следующему правилу

Так, log 232 = 5, потому что 2 5= 32. А все уже рассмотренные нами свойства логарифмов соответствуют любому значению b . Так, например,

В большинстве разделов математики, физики и техники самым полезным считается логарифм по основанию b = e . Он называется натуральным и даже имеет свое специальное обозначение – ln x . То есть